2015_退役省自主命题 (2015·文)
20．（本小题满分 13 分）已知抛物线 $C_{1}: x^{2}=4 y$ 的焦点 F 也是椭圆 $C_{2}: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$
$(a>b>0)$ 的一个焦点，$C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共弦长为 $2 \sqrt{6}$ ，过点 F 的直线 $l$ 与 $C_{1}$ 相交于 $A, B$ 两点，与 $C_{2}$ 相交于 $C, D$ 两点，且 $\overrightarrow{A C}$ 与 $\overrightarrow{B D}$ 同向．
（I）求 $C_{2}$ 的方程；
（II）若 $|A C|=|B D|$ ，求直线 $l$ 的斜率．
【答案】（I）$\frac{y^{2}}{9}+\frac{x^{2}}{8}=1$ ；（II）$\pm \frac{\sqrt{6}}{4}$ ．
## 【解析】
试题分析：（I）由题通过 F 的坐标为 $(0,1)$ ，因为 F 也是椭圆 $C_{2}$ 的一个焦点，可得 $a^{2}-b^{2}=1$ ，根据 $C_{1}$ 与 $C_{2}$的公共弦长为 $2 \sqrt{6}, C_{1}$ 与 $C_{2}$ 都关于 $y$ 轴对称可得 $\frac{9}{4 a^{2}}+\frac{6}{b^{2}}=1$ ，然后得到对应曲线方程即可；（II）设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), C\left(x_{3}, y_{3}\right), D\left(x_{4}, y_{4}\right)$ ，根据 $\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{B D}$ ，可得
$\left(x_{3}+x_{4}\right)^{2}-4 x_{3} x_{4}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}$ ，设直线 $l$ 的斜率为 $k$ ，则 $l$ 的方程为 $y=k x+1$ ，联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可得到结果。
试题解析：（I）由 $C_{1}: x^{2}=4 y$ 知其焦点 F 的坐标为 $(0,1)$ ，因为 F 也是椭圆 $C_{2}$ 的一个焦点，所以 $a^{2}-b^{2}=1$
①；又 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共弦长为 $2 \sqrt{6}, C_{1}$ 与 $C_{2}$ 都关于 $y$ 轴对称，且 $C_{1}$ 的方程为 $C_{1}: x^{2}=4 y$ ，由此易知 $C_{1}$与 $C_{2}$ 的公共点的坐标为 $\left( \pm \sqrt{6}, \frac{3}{2}\right), \therefore \frac{9}{4 a^{2}}+\frac{6}{b^{2}}=1$
联立①②得 $a^{2}=9, b^{2}=8$ ，故 $C_{2}$ 的方程为 $\frac{y^{2}}{9}+\frac{x^{2}}{8}=1$ 。
（II）如图，设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), C\left(x_{3}, y_{3}\right), D\left(x_{4}, y_{4}\right)$ ，
因 $\overrightarrow{A C}$ 与 $\overrightarrow{B D}$ 同向，且 $|A C|=|B D|$ ，
所以 $\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{B D}$ ，从而 $x_{3}-x_{1}=x_{4}-x_{2}$ ，即 $x_{3}-x_{4}=x_{1}-x_{2}$ ，于是
$$ \left(x_{3}+x_{4}\right)^{2}-4 x_{3} x_{4}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2} $$
设直线 $l$ 的斜率为 $k$ ，则 $l$ 的方程为 $y=k x+1$ ，
由 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+1 \\ x^{2}=4 y\end{array}\right.$ 得 $x^{2}-4 k x-4=0$ ，由 $x_{1}, x_{2}$ 是这个方程的两根，$\therefore x_{1}+x_{2}=4 k, x_{1} x_{2}=-4$④
由 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+1 \\ \frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{9}=1\end{array}\right.$ 得 $\left(9+8 k^{2}\right) x^{2}+16 k x-64=0$, 而 $x_{3}, x_{4}$ 是这个方程的两根，
$x_{3}+x_{4}=-\frac{16 k}{9+8 k^{2}}, x_{3} x_{4}=-\frac{64}{9+8 k^{2}}$,
将（4）、（5）代入③，得 $16\left(k^{2}+1\right)=\frac{16^{2} k^{2}}{\left(9+8 k^{2}\right)^{2}}+\frac{4 \times 64}{9+8 k^{2}}$ 。即 $16\left(k^{2}+1\right)=\frac{16^{2} \times 9\left(k^{2}+1\right)}{\left(9+8 k^{2}\right)^{2}}$
所以 $\left(9+8 k^{2}\right)^{2}=16 \times 9$ ，解得 $k= \pm \frac{\sqrt{6}}{4}$ ，即直线 $l$ 的斜率为 $\pm \frac{\sqrt{6}}{4}$
【考点定位】直线与圆锥曲线的位置关系；椭圆的性质
【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于 $a, b, c$ 的方程组，解出 $a^{2}$ ， $b^{2}$ ，从而写出椭圆的标准方程。解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单．