（本小题共13分） 若数列 A_ n : a_ 1 , a…——2011 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
（共13分）
解：（I） $0,1,0,1,0$ 是一具满足条件的 $E$ 数列 $A_{5}$ ．
（答案不唯一， $0,-1,0,1,0 ; 0, \pm 1,0,1,2 ; 0, \pm 1,0,-1,-2 ; 0, \pm 1,0$ ，－ 1，
$-2,0, \pm 1,0,-1,0$ 都是满足条件的 E 的数列 $\mathrm{A}_{5}$ ）
（II）必要性：因为 E 数列 $\mathrm{A}_{5}$ 是递增数列，
所以 $a_{k+1}-a_{k}=1(k=1,2, \cdots, 1999)$ ．
所以 $\mathrm{A}_{5}$ 是首项为 12 ，公差为 1 的等差数列．
所以 $a_{2000}=12+(2000-1) \times 1=2011$ ．
充分性，由于 $a_{2000}-a_{1000} \leq 1$ ，
$a_{2000}-a_{1000} \leq 1$
．．．．．．
$a_{2}-a_{1} \leq 1$
所以 $a_{2000}-a_{t} \leq 19999$ ，即 $a_{2000} \leq a_{1}+1999$ ．
又因为 $a_{1}=12, a_{2000}=2011$ ，
所以 $a_{2000}=a_{1}+1999$ ．
故 $a_{n+1}-a_{n}=1>0(k=1,2, \cdots, 1999)$ ，即 $A_{n}$ 是递增数列．
综上，结论得证。
（III）对首项为 4 的 $E$ 数列 $A_{k}$ ，由于
$a_{2} \geq a_{1}-1=3$,
$a_{3} \geq a_{2}-1 \geq 2$,

$a_{5} \geq a_{7}-1 \geq-3$.

所以 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}>0(k=2,3, \cdots, 8)$
所以对任意的首项为 4 的 E 数列 $\mathrm{A}_{\mathrm{m}}$ ，若 $S\left(A_{m}\right)=0$ ，
则必有 $n \geq 9$ ．
又 $a_{1}=4$ 的 E 数列 $A_{1}: 4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4$ 满足 $S\left(A_{1}\right)=0$ ，
所以 n 是最小值是 9 ．