2011 高考数学第 20 题答案解析

20．（13分）（2011•北京）若数列 $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}(\mathrm{n} \geq 2)$ 满足 $\left|\mathrm{a}_{\mathrm{k}+1}-\mathrm{a}_{\mathrm{k}}\right|=1 ~(\mathrm{k}=1, ~ 2, ~ \ldots , n-1)$ ，数列 $A_{n}$ 为 $E$ 数列，记 $S\left(A_{n}\right)=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}$ ．
（I）写出一个满足 $\mathrm{a}_{1}=\mathrm{a}_{\mathrm{s}}=0$ ，且 $\mathrm{S}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{s}}\right)>0$ 的 E 数列 $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}$ ；
（II）若 $\mathrm{a}_{1}=12, \mathrm{n}=2000$ ，证明： E 数列 $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}$ 是递增数列的充要条件是 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=2011$ ；
（III）对任意给定的整数 $n(n \geq 2)$ ，是否存在首项为 0 的 $E$ 数列 $A_{n}$ ，使得 $S\left(A_{n}\right)=0$ ？如果存在，写出一个满足条件的 E 数列 $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}$ ；如果不存在，说明理由。