（20）（本小题满分 13 分） 已知函数 f(x)= 1…——2017 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
（本小题满分 13 分）
解：（1）由题意 $f^{\prime}(x)=x^{2}-a x$

所以 当 $a=2$ 时，$f(3)=0, f^{\prime}(x)=x^{2}-2 x$

所以 $\quad f^{\prime}(3)=3$

因此 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(3, f(3))$ 处的切线方程是 $y=3(x-3)$ ，

即 $\quad 3 x-y-9=0$
（2）因为 $g(x)=f(x)+(x-a) \cos x-\sin x$ ，

所以 $g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)+\cos x-(x-a) \sin x-\cos x$

$$ \begin{aligned} & =x(x-a)-(x-a) \sin x \\ & =(x-a)(x-\sin x) \end{aligned} $$

令 $\quad h(x)=x-\sin x$

则 $h^{\prime}(x)=1-\cos x \geq 0$ ，

所以 $h(x)$ 在 R 上单调递增

因为 $\quad h(0)=0$ ，

所以 当 $x>0$ 时，$h(x)>0$ ；

当 $x<0$ 时，$h(x)<0$
（1）当 $a<0$ 时，$g^{\prime}(x)=(x-a)(x-\sin x)$ ，
当 $x \in(-\infty, a)$ 时，$x-a<0, g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增；
当 $x \in(a, 0)$ 时，$x-a>0, g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减；
当 $x \in(0,+\infty)$ 时，$x-a>0, g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增．
所以 当 $x=a$ 时 $g(x)$ 取到极大值，极大值是 $g(a)=-\frac{1}{6} a^{3}-\sin a$ ，当 $x=0$ 时 $g(x)$ 取到标小值，极小值是 $g(0)=-a$ ．
（2）当 $a=0$ 时，$g^{\prime}(x)=x(x-\sin x)$ ，
当 $x \in(-\infty,+\infty)$ 时，$g^{\prime}(x) \geqslant 0, g(x)$ 单调递增；
所以 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增，$g(x)$ 无极大值也无极小值。
（3）当 $a>0$ 时，$g^{\prime}(x)=(x-a)(x-\sin x)$
当 $x \in(-\infty, 0)$ 时，$x-a<0, g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增；
当 $x \in(0, a)$ 时，$x-a<0, g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减；
当 $x \in(a,+\infty)$ 时，$x-a>0, g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增．
所以 当 $x=0$ 时 $g(x)$ 取到极大值，极大值是 $g(0)=-a$ ；
当 $x=a$ 时 $g(x)$ 取到极小值，极小值是 $g(a)=-\frac{1}{6} a^{3}-\sin a$ ．
综上所述：
当 $a<0$ 时，函数 $g(x)$ 在 $(-\infty, a)$ 和 $(0,+\infty)$ 上单调递增，在 $(a, 0)$ 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是 $g(a)=-\frac{1}{6} a^{3}-\sin a$ ，极小值是 $g(0)=-a$ ；

当 $a=0$ 时，函数 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增，无极值；
当 $a>0$ 时，函数 $g(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 和 $(a,+\infty)$ 上单调递增，在 $(0, a)$ 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是 $g(0)=-a$ ，极小值是 $g(a)=-\frac{1}{6} a^{3}-\sin a$ ．

【解答】
解：（I）由题意 $f^{\prime}(x)=x^{2}-a x$ ，
所以 当 $a=2$ 时，$f(3)=0, f^{\prime}(x)=x^{2}-2 x$ ，
所以 $f^{\prime}(3)=3$ ，
因此 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(3, f(3))$ 处的切线方程是 $y=3(x-3)$ ，
即 $3 x-y-9=0$ 。
（II）因为 $g(x)=f(x)+(x-a) \cos x-\sin x$ ，
所以 $g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)+\cos x-(x-a) \sin x-\cos x$

$$ \begin{aligned} & =x(x-a)-(x-a) \sin x \\ & =(x-a)(x-\sin x) \end{aligned} $$

令 $\quad h(x)=x-\sin x$ ，
则 $h^{\prime}(x)=1-\cos x \geqslant 0$ ，
所以 $h(x)$ 在 R 上单调递增．
因为 $h(0)=0$ ，
所以 当 $x>0$ 时，$h(x)>0$ ；
当 $x<0$ 时，$h(x)<0$ ．
①当 $a<0$ 时，$g^{\prime}(x)=(x-a)(x-\sin x)$ ，
当 $x \in(-\infty, a)$ 时，$x-a<0, g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增；
当 $x \in(a, 0)$ 时，$x-a>0, g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减；
当 $x \in(0,+\infty)$ 时，$x-a>0, g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增。
所以 当 $x=a$ 时 $g(x)$ 取到极大值，极大值是 $g(a)=-\frac{1}{6} a^{3}-\sin a$ ，
当 $x=0$ 时 $g(x)$ 取到性小值，极小值是 $g(0)=-a$ ．
②当 $a=0$ 时，$g^{\prime}(x)=x(x-\sin x)$ ，
当 $x \in(-\infty,+\infty)$ 时，$g^{\prime}(x) \geqslant 0, g(x)$ 单调递增；
所以 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增，$g(x)$ 无极大值也无极小值．
③当 $a>0$ 时，$g^{\prime}(x)=(x-a)(x-\sin x)$
当 $x \in(-\infty, 0)$ 时，$x-a<0, g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增；
当 $x \in(0, a)$ 时，$x-a<0, g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减；
当 $x \in(a,+\infty)$ 时，$x-a>0, g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增．
所以 当 $x=0$ 时 $g(x)$ 取到极大值，极大值是 $g(0)=-a$ ；
当 $x=a$ 时 $g(x)$ 取到极小值，极小值是 $g(a)=-\frac{1}{6} a^{3}-\sin a$ ．
综上所述：
当 $a<0$ 时，函数 $g(x)$ 在 $(-\infty, a)$ 和 $(0,+\infty)$ 上单调递增，在 $(a, 0)$ 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是 $g(a)=-\frac{1}{6} a^{3}-\sin a$ ，极小值是 $g(0)=-a$ ；

当 $a=0$ 时，函数 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增，无极值；
当 $a>0$ 时，函数 $g(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 和 $(a,+\infty)$ 上单调递增，在 $(0, a)$ 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是 $g(0)=-a$ ，极小值是 $g(a)=-\frac{1}{6} a^{3}-\sin a$ ．

【解答】
（本小题满分 13 分）

已知函数 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2} a x^{2}, a \in \mathbf{R}$ ．
（I）当 $a=2$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(3, f(3))$ 处的切线方程；
（II）设函数 $g(x)=f(x)+(x-a) \cos x-\sin x$ ，讨论 $g(x)$ 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．