（18）（本小题满 分 12 分） 设 n N^ * ,…——2015 高考数学第 18 题答案解析

【答案】（ I ）$x_{n}=\frac{n}{n+1} ;\left(\right.$ II ）$T_{n} \geq \frac{1}{4 n}$．

## 【解析】

试题分析：（I）对题中所给曲线的解析式进行求导，得出曲线 $y=x^{2 n+2}+1$ 在点 $(1,2)$ 处的切线斜率为 $2 n+2$．从而可以写出切线方程为 $y-2=(2 n+2)(x-1)$．令 $y=0$．解得切线与 $x$ 轴交点的横坐标 $x_{n}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$.
（II）要证 $T_{n} \geq \frac{1}{4 n}$，需考虑通项 $x_{2 n-1}{ }^{2}$，通过适当放缩能够使得每项相消即可证明。思路如下：先表示 $T_{n}=x_{1}^{2} x_{3}^{2} \cdots x_{2 n-1}^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\left(\frac{3}{4}\right)^{2} \cdots\left(\frac{2 n-1}{2 n}\right)^{2}$，求出初始条件当 $n=1$ 时，$T_{1}=\frac{1}{4}$ 当 $n \geq 2$ 时，单独考虑 $x_{2 n-1}^{2}$，并放缩得 $x_{2 n-1}{ }^{2}=\left(\frac{2 n-1}{2 n}\right)^{2}=\frac{(2 n-1)^{2}}{(2 n)^{2}}>\frac{(2 n-1)^{2}-1}{(2 n)^{2}}=\frac{4 n^{2}-4 n}{(2 n)^{2}}=\frac{n-1}{n}$，所以 $T_{n}>\left(\frac{1}{2}\right)^{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \cdots \times \frac{n-1}{n}=\frac{1}{4 n}$，综上可得对任意的 $n \in N^{*}$，均有 $T_{n} \geq \frac{1}{4 n}$．

试题解析：（I）解：$y^{\prime}=\left(x^{2 n+2}+1\right)^{\prime}=(2 n+2) x^{2 n+1}$，曲线 $y=x^{2 n+2}+1$ 在点 $(1,2)$ 处的切线斜率为 $2 n+2$．从而切线方程为 $y-2=(2 n+2)(x-1)$．令 $y=0$，解得切线与 $x$ 轴交点的横坐标 $x_{n}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．
（II）证：由题设和（I）中的计算结果知
$T_{n}=x_{1}^{2} x_{3}^{2} \cdots x_{2 n-1}^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\left(\frac{3}{4}\right)^{2} \cdots\left(\frac{2 n-1}{2 n}\right)^{2}$.
当 $n=1$ 时，$T_{1}=\frac{1}{4}$．

当 $n \geq 2$ 时，因为 $x_{2 n-1}{ }^{2}=\left(\frac{2 n-1}{2 n}\right)^{2}=\frac{(2 n-1)^{2}}{(2 n)^{2}}>\frac{(2 n-1)^{2}-1}{(2 n)^{2}}=\frac{4 n^{2}-4 n}{(2 n)^{2}}=\frac{n-1}{n}$，
所以 $T_{n}>\left(\frac{1}{2}\right)^{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \cdots \times \frac{n-1}{n}=\frac{1}{4 n}$．
综上可得对任意的 $n \in N^{*}$，均有 $T_{n} \geq \frac{1}{4 n}$．
【考点定位】1．曲线的切线方程；2．数列的通项公式；3．放缩法证明不等式。
【名师点睛】数列是特殊的函数，不等式是深刻认识函数与数列的重要工具，三者的综合是近几年高考命题的新热点，且数列的重心已经偏移到不等式的证明与求解中，而不再是以前的递推求通项，此类问题在 2010 年、2012年、2013年安徽高考解答题中都曾考过对于数列问题中求和类（或求积类）不等式证明，如果是通过放缩的方法进行证明的，一般有两种类型：一种是能够直接求和（或求积），再放缩；一种是不能直接求和（或求积），需要放缩后才能求和（或求积），求和（或求积）后再进行放缩在后一种类型中，一定要注意放缩的尺度，二是要注意从哪一项开始放缩、