（13 分）设 I 为曲线 C： y = ln x x 在…——2013 高考数学第 18 题答案解析

【考点】6E：利用导数研究函数的最值； 6 H ：利用导数研究曲线上某点切线方程。

【专题】53：导数的综合应用．

【分析】（I）求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，可以求解；
（II）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论．
【解答】解：（I ）$\because y=\frac{\ln x}{x}$
$\therefore \mathrm{y}^{\prime}=\frac{1-\ln \mathrm{x}}{\mathrm{x}^{2}}$
$\therefore \mathrm{l}$ 的斜率 $\mathrm{k}=\left.\mathrm{y}^{\prime}\right|_{\mathrm{x}=1}=1$
$\therefore \mathrm{I}$ 的方程为 $\mathrm{y}=\mathrm{x}-1$
证明：（II）令 $f(x)=x(x-1)-\ln x,(x>0)$
曲线 C 在直线 $l$ 的下方，即 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}(\mathrm{x}-1)-\ln \mathrm{x}>0$ ，
则 $f^{\prime}(x)=2 x-1-\frac{1}{x}=\frac{(2 x+1)(x-1)}{x}$
$\therefore f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，又 $f(1)=0$
$\therefore x \in(0,1)$ 时，$f(x)>0$ ，即 $\frac{\ln x}{x}$x \in(1,+\infty)$ 时，$f(x)>0$ ，即 $\frac{\ln x}{x}即除切点（ 1,0 ）之外，曲线 C 在直线 $l$ 的下方
【点评】本题考查的知识点是导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档。