已知点 A, B 关于坐标原点 O 对称， |A B|=A…——2019 高考数学第 21 题答案解析

【答案】（1） 2 或 6 ；
（2）见解析。

## 【解析】

【分析】
①设 $A(t,-t), B(-t, t)$ ，根据 $|A B|=4$ ，可知 $|t|=\sqrt{2}$ ；由圆的性质可知圆心 $M$ 必在直线 $y=x$ 上，可设圆心 $M(a, a)$ ；利用圆心到 $x+2=0$ 的距离为半径和 $|M A|=|M B|=r$

构造方程，从而解出 $r$ ；②当直线 $A B$ 斜率存在时，设 $A B$ 方程为：$y=k x$ ，由圆的性质可知圆心 $M$ 必在直线 $y=-\frac{1}{k} x$ 上；假设圆心坐标，利用圆心到 $x+2=0$ 的距离为半径和 $r=|M A|=\sqrt{|O A|^{2}+|O M|^{2}}$ 构造方程，解出 $M$ 坐标，可知 $M$ 轨迹为抛物线；利用抛物线定义可知 $P(1,0)$ 为抛物线焦点，且定值为 1 ；当直线 $A B$ 斜率不存在时，求解出 $M$ 坐标，验证此时 $P(1,0)$ 依然满足定值，从而可得到结论．

【详解】①$\because A$ 在直线 $C_{n}^{5-n}+C_{n+1}^{9-n}$ 上 ∴ 设 $A(t,-t)$ ，则 $B(-t, t)$
又 $|A B|=4 \quad \therefore 8 t^{2}=16$ ，解得：$|t|=\sqrt{2}$
$\because \odot M$ 过点 $A, B \quad \therefore$ 圆心 $M$ 必在直线 $y=x$ 上
设 $M(a, a)$ ，圆的半径为 $r$
$\because \odot M$ 与 $x+2=0$ 相切 $\quad \therefore r=|a+2|$
又 $|M A|=|M B|=r$ ，即 $(a-\sqrt{2})^{2}+(a+\sqrt{2})^{2}=r^{2}$
$\therefore(a-\sqrt{2})^{2}+(a+\sqrt{2})^{2}=(a+2)^{2}$ ，解得：$a=0$ 或 $a=4$
当 $a=0$ 时，$r=2$ ；当 $a=4$ 时，$r=6$
$\therefore \odot M$ 的半径为： 2 或 6
（2）存在定点 $P(1,0)$ ，使得 $|M A|-|M P|=1$
说明如下：
$\because A, B$ 关于原点对称且 $|A B|=4$
∴ 直线 $A B$ 必为过原点 $O$ 的直线，且 $|O A|=2$
（1）当直线 $A B$ 斜率存在时，设 $A B$ 方程为：$y=k x$
则 $\odot M$ 的圆心 $M$ 必在直线 $y=-\frac{1}{k} x$ 上
设 $M(-k m, m), \odot M$ 的半径为 $r$
$\because \odot M$ 与 $x+2=0$ 相切 $\quad \therefore r=|-k m+2|$
又 $r=|M A|=\sqrt{|O A|^{2}+|O M|^{2}}=\sqrt{4+k^{2} m^{2}+m^{2}}$

$\therefore|-k m+2|=\sqrt{4+k^{2} m^{2}+m^{2}}$ ，整理可得：$m^{2}=-4 k m$
即 $M$ 点轨迹方程为：$y^{2}=4 x$ ，准线方程为：$x=-1$ ，焦点 $F(1,0)$
$\because|M A|=r$ ，即抛物线上点到 $a=-1$ 的距离 $\therefore|M A|=|M F|+1$
$\therefore|M A|-|M F|=1$
∴ 当 $P$ 与 $F$ 重合，即 $P$ 点坐标为 $(1,0)$ 时，$|M A|-|M P|=1$
（2）当直线 $A B$ 斜率不存在时，则直线 $A B$ 方程为：$x=0$
$\leq M$ 在 $x$ 轴上，设 $M(n, 0)$
$\therefore|n+2|=\sqrt{n^{2}+4}$ ，解得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，即 $M(0,0)$
若 $P(1,0)$ ，则 $|M A|-|M P|=2-1=1$
综上所述，存在定点 $P(1,0)$ ，使得 $|M A|-|M P|$ 为定值
【点晴】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题．解决本定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，进而验证定值符合所有情况，使得问题得解．