设抛物线 C: y^ 2 =2 p x(p>0) 的焦点为…——2022 高考数学第 21 题答案解析

【答案】①$y^{2}=4 x$ ；
②$A B: x=\sqrt{2} y+4$ ．

【解析】

【分析】①由抛物线的定义可得 $|M F|=p+\frac{p}{2}$ ，即可得解；
②设点的坐标及直线 $M N: x=m y+1$ ，由韦达定理及斜率公式可得 $k_{M N}=2 k_{A B}$ ，再由差角的正切公式及基本不等式可得 $k_{A B}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，设直线 $A B: x=\sqrt{2} y+n$ ，结合韦达定理可解．

【小问 1 详解】

抛物线的准线为 $x=-\frac{p}{2}$ ，当 $M D$ 与 $x$ 轴垂直时，点 $M$ 的横坐标为 $p$ ，此时 $|M F|=p+\frac{p}{2}=3$ ，所以 $p=2$ ，

所以抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2}=4 x$ ；

【小问 2 详解】

设 $M\left(\frac{y_{1}^{2}}{4}, y_{1}\right), N\left(\frac{y_{2}^{2}}{4}, y_{2}\right), A\left(\frac{y_{3}^{2}}{4}, y_{3}\right), B\left(\frac{y_{4}^{2}}{4}, y_{4}\right)$ ，直线 $M N: x=m y+1$ ，
由 $\left\{\begin{array}{l}x=m y+1 \\ y^{2}=4 x\end{array}\right.$ 可得 $y^{2}-4 m y-4=0, \Delta>0, y_{1} y_{2}=-4$ ，
由斜率公式可得 $k_{M N}=\frac{y_{1}-y_{2}}{\frac{y_{1}^{2}}{4}-\frac{y_{2}^{2}}{4}}=\frac{4}{y_{1}+y_{2}}, k_{A B}=\frac{y_{3}-y_{4}}{\frac{y_{3}^{2}}{4}-\frac{y_{4}^{2}}{4}}=\frac{4}{y_{3}+y_{4}}$ ，
直线 $M D: x=\frac{x_{1}-2}{y_{1}} \cdot y+2$ ，代入抛物线方程可得 $y^{2}-\frac{4\left(x_{1}-2\right)}{y_{1}} \cdot y-8=0$ ，
$\Delta>0, y_{1} y_{3}=-8$ ，所以 $y_{3}=2 y_{2}$ ，同理可得 $y_{4}=2 y_{1}$ ，
所以 $k_{A B}=\frac{4}{y_{3}+y_{4}}=\frac{4}{2\left(y_{1}+y_{2}\right)}=\frac{k_{M N}}{2}$
又因为直线 $M N , A B$ 的倾斜角分别为 $\alpha, \beta$ ，
所以 $k_{A B}=\tan \beta=\frac{k_{M N}}{2}=\frac{\tan \alpha}{2}$ ，
若要使 $\alpha-\beta$ 最大，则 $\beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，
设 $k_{M N}=2 k_{A B}=2 k>0$ ，则 $\tan (\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}=\frac{k}{1+2 k^{2}}=\frac{1}{\frac{1}{k}+2 k} \leq \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1}{k} \cdot 2 k}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，
当且仅当 $\frac{1}{k}=2 k$ 即 $k=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，等号成立，
所以当 $\alpha-\beta$ 最大时，$k_{A B}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，设直线 $A B: x=\sqrt{2} y+n$ ，
代入抛物线方程可得 $y^{2}-4 \sqrt{2} y-4 n=0$ ，
$\Delta>0, y_{3} y_{4}=-4 n=4 y_{1} y_{2}=-16$ ，所以 $n=4$ ，
所以直线 $A B: x=\sqrt{2} y+4$ ．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关

系。