2010 北京高考数学 2010_北京卷 (2010·理) 第 18 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

18．（13分）（2010•北京）已知函数 $f(x)=\ln (1+x)-x+\frac{k}{2} x^{2}(k \geq 0)$ ．
（I）当 $\mathrm{k}=2$ 时，求曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在点（ $1, \mathrm{f}$①）处的切线方程；
（II）求 f （ x ）的单调区间。

Accepted Answer

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性． 【专题】导数的概念及应用。 【分析】（I）根据导数的几何意义求出函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\mathrm{x}=1$ 处的导数，从而求出切线的斜率 ，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可； （II）先求出导函数 $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})$ ，讨论 $\mathrm{k}=0,0 1$ 四种情形，在函数的定义域内解不等式 $f^{\prime}(x)>0$ 和 $f^{\prime}(x) -1)$ 当 $k=0$ 时，$f^{\prime}(x)=-\frac{x}{1+x}$ 因此在区间 $(-1,0)$ 上， $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})>0$ ；在区间 $(0,+\infty)$ 上， $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}) 0$ ； 因此，在区间 $(-1,0)$ 和 $\left(\frac{1-\mathrm{k}}{\mathrm{k}},+\infty\right)$ 上， $\mathrm{f}(\mathrm{x})>0$ ；在区间 $\left(0, \frac{1-\mathrm{k}}{\mathrm{k}}\right)$ 上 ， $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}) 1$ 时，由 $f^{\prime}(x)=\frac{x(k x+k-1)}{1+x}=0$ ，得 $x_{1}=0, x_{2}=\frac{1-k}{k} \in(-1,0)$ ； 因此，在区间 $\left(-1, \frac{1-k}{k}\right)$ 和 $(0,+\infty)$ 上，$f(x)>0$ ，在区间 $\left(\frac{1-k}{k}, 0\right)$ 上，$f$ （x）$<0$ ； 即函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(-1, \frac{1-k}{k}\right)$ 和 $(0,+\infty)$ ，单调递减区间为 $$ \left(\frac{1-\mathrm{k}}{\mathrm{k}}, 0\right) $$ 【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论的数学思想，属于基础题。

2010 高考数学第 18 题答案解析

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