18．（13分）（2010•北京）已知函数 $f(x)=\ln (1+x)-x+\frac{k}{2} x^{2}(k \geq 0)$ ．
（I）当 $\mathrm{k}=2$ 时，求曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在点（ $1, \mathrm{f}$①）处的切线方程；
（II）求 f （ x ）的单调区间。
（13分）（2010•北京）已知函数 f(x)=ln (1…——2010 高考数学第 18 题答案解析
2010_北京卷 (2010·理)
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【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的概念及应用。
【分析】（I）根据导数的几何意义求出函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\mathrm{x}=1$ 处的导数，从而求出切线的斜率 ，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；
（II）先求出导函数 $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})$ ，讨论 $\mathrm{k}=0,0<\mathrm{k}<1, \mathrm{k}=1, \mathrm{k}>1$ 四种情形，在函数的定义域内解不等式 $f^{\prime}(x)>0$ 和 $f^{\prime}(x)<0$ 即可。
【解答】解：（I）当 $K=2$ 时，$f(x)=\ln (1+x)-x+x^{2}, f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x}-1+2 x$
由于 $\mathrm{f}(1)=\ln ②, \mathrm{f}^{\prime}(1)=\frac{3}{2}$ 所以曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在点 $(1, \mathrm{f}(1))$ 处的切线方程为
$y-\ln 2=\frac{3}{2}(x-1)$ ．即 $3 x-2 y+2 \ln 2-3=0$
（II）$f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x}-1+k x(x>-1)$
当 $k=0$ 时，$f^{\prime}(x)=-\frac{x}{1+x}$
因此在区间 $(-1,0)$ 上， $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})>0$ ；在区间 $(0,+\infty)$ 上， $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})<0$ ；
所以 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调递增区间为 $(-1,0)$ ，单调递减区间为 $(0,+\infty)$ ；
当 $0<k<1$ 时，$f^{\prime}(x)=\frac{x(k x+k-1)}{1+x}=0$ ，得 $x_{1}=0, x_{2}=\frac{1-k}{k}>0$ ；
因此，在区间 $(-1,0)$ 和 $\left(\frac{1-\mathrm{k}}{\mathrm{k}},+\infty\right)$ 上， $\mathrm{f}(\mathrm{x})>0$ ；在区间 $\left(0, \frac{1-\mathrm{k}}{\mathrm{k}}\right)$ 上 ， $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})<0$ ；
即函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调递增区间为 $(-1,0)$ 和 $\left(\frac{1-\mathrm{k}}{\mathrm{k}},+\infty\right)$ ，单调递减区间为 $(0$ ， $\left.\frac{1-k}{k}\right) ;$
当 $k=1$ 时，$f^{\prime}(x)=\frac{x^{2}}{1+x}$ ．$f(x)$ 的递增区间为 $(-1,+\infty)$
当 $k>1$ 时，由 $f^{\prime}(x)=\frac{x(k x+k-1)}{1+x}=0$ ，得 $x_{1}=0, x_{2}=\frac{1-k}{k} \in(-1,0)$ ；
因此，在区间 $\left(-1, \frac{1-k}{k}\right)$ 和 $(0,+\infty)$ 上，$f(x)>0$ ，在区间 $\left(\frac{1-k}{k}, 0\right)$ 上，$f$ （x）$<0$ ；
即函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(-1, \frac{1-k}{k}\right)$ 和 $(0,+\infty)$ ，单调递减区间为
$$ \left(\frac{1-\mathrm{k}}{\mathrm{k}}, 0\right) $$
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论的数学思想，属于基础题。
✅ 来源：2010年 · 北京 · 2010_北京卷 (2010·理) · 第 18 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
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