2026_天津卷
16.已知函数 $f ( x ) = \sin ( 2 x + \frac { \pi } { 6 } ) .$
(I) 求f(x)的最小正周期;
(II) $\underline { { * } } _ { 1 } x \in [ - \frac { \pi } { 6 } , \frac { \pi } { 1 2 } ]$ 时,求f(x)的最大值和最小值;
(III) 若 $\alpha \in \left( 0 , { \frac { \pi } { 2 } } \right)$ $\sin \alpha = { \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } }$ 求 $f ( \alpha )$ 的值.
（I）π（Ⅱ）最大值 $\cdot \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ,$ 最小值 $- \frac { 1 } { 2 } { \bf \Gamma } _ { ( \mathrm { I I I } ) } \frac { 2 \sqrt { 6 } + 1 } { 6 }$
同一个知识，换种问法
匹配依据：三角函数的图象与性质 · 同角三角函数的基本关系换个题面，方法仍然适用
匹配依据：换元法 · 数形结合【答案】（I）π（Ⅱ）最大值 $\cdot \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ,$ 最小值 $- \frac { 1 } { 2 } { \bf \Gamma } _ { ( \mathrm { I I I } ) } \frac { 2 \sqrt { 6 } + 1 } { 6 }$
【解析】本题考查正弦型函数的周期及最值，考查简单的三角恒等变换（两角和的正弦公式及二倍角的正、余弦公式）同角三角函数基本关系求值.
(I) $f ( x ) = \sin ( 2 x + { \frac { \pi } { 6 } } ) , T = { \frac { 2 \pi } { \omega } } = { \frac { 2 \pi } { 2 } } = \pi _ { . }$
(I) $x \in [ - \frac { \pi } { 6 } , \frac { \pi } { 1 2 } ]$
$$ 2 x \in [ - \frac { \pi } { 3 } , \frac { \pi } { 6 } ] $$
$$ 2 x + \frac { \pi } { 6 } \in [ - \frac { \pi } { 6 } , \frac { \pi } { 3 } ] \sp t _ { \mathbb { A } } = 2 x + \frac { \pi } { 6 } $$
$$ y = \sin t \pi _ { \widehat { \mathbb { E } } } ^ { \big [ - \frac { \pi } { 6 } , \frac { \pi } { 3 } \big ] } \mathbb { \breve { H } } \mathbb { H } . $$
$$ { \underline { { \mathbf { \Pi } } } } _ { \sharp } t = - { \frac { \pi } { 6 \sharp } } 2 x + { \frac { \pi } { 6 } } = - { \frac { \pi } { 6 \sharp } } y _ { m i n } = \sin ( - { \frac { \pi } { 6 } } ) = - { \frac { 1 } { 2 } } $$
$$ { \underline { { { \bf \Pi } } } } _ { \sharp } t = { \frac { \pi } { 3 } } { \underline { { { \sf \Pi } } } } _ { \sharp } 2 x + { \frac { \pi } { 6 } } = { \frac { \pi } { 3 \sharp + \mathscr { G } } } _ { \sharp } y _ { m a x } = \sin { \frac { \pi } { 3 } } = { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } $$
$$ \therefore f ( x ) _ { m a x } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , f ( x ) _ { m i n } = - \frac { 1 } { 2 } . $$
$$ \mathrm { ~ ( I I I ) ~ } \alpha \in ( 0 , \frac { \pi } { 2 } ) , \sin \alpha = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } , \cos \alpha = \sqrt { 1 - ( \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } ) ^ { 2 } } = \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } $$
$$ \begin{array} { r l } & { \cdot : \sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \times \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } \times \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } = \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } } \\ & { \cos 2 \alpha = 1 - 2 \sin ^ { 2 } \alpha = 1 - 2 \times ( \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 3 } } \\ & { f ( \alpha ) = \sin ( 2 \alpha + \frac { \pi } { 6 } ) } \\ & { = \sin 2 \alpha \cos \frac { \pi } { 6 } + \cos 2 \alpha \sin \frac { \pi } { 6 } } \\ & { = \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } \times \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } + \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 1 } { 2 } } \\ & { = \frac { 2 \sqrt { 6 } + 1 } { 6 } } \end{array} $$
当 $x \hat{\mathbf{1}}[0,2 \pi]$ 时，曲线 $y=\sin x$ 与 $y=2 \sin \left(3 x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的交点个数为（ ）
（本小题 13 分，（I）小问 5 分，（II）小问 8 分）
已知函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,-\frac{\pi}{2} \leq \varphi<\frac{\pi}{2}\right)$ 的图像关于直线 $x=\frac{\pi}{3}$ 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为 $\pi$．
（I）求 $\omega$ 和 $\varphi$ 的值；
（II）若 $f\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{\pi}{6}<\alpha<\frac{2 \pi}{3}\right)$，求 $\cos \left(\alpha+\frac{3 \pi}{2}\right)$ 的值．
（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=(1+\cot x) \sin ^{2} x-2 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ ．
（1）若 $\tan \alpha=2$ ，求 $f(\alpha)$ ；
（2）若 $x \in\left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{2}\right]$ ，求 $f(x)$ 的取值范围．