2011 高考数学第 19 题答案解析

19．（本小题满分 16 分）
已知 $a, b$ 是实数，函数 $f(x)=x^{3}+a x, g(x)=x^{2}+b x, f^{\prime}(x)$ 和 $g^{\prime}(x)$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的导函数．若 $f^{\prime}(x) g^{\prime}(x) \geq 0$ 在区间 $I$ 上恒成立，则称 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $I$上单调性一致．
（1）设 $a>0$ ，若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[-1,+\infty)$ 上单调性一致，求实数 $b$ 的取值范围；
②设 $a<0$ 且 $a \neq b$ ，若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在以 $a, b$ 为端点的开区间上单调性一致，求 $|a-b|$ 的最大值．