（本小题满分 16 分） 已知 a, b 是实数，函数 f…——2011 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
本小题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．满分 16 分．
解：$f^{\prime}(x)=3 x^{2}+a, g^{\prime}(x)=2 x+b$ ．
①由题意知 $f^{\prime}(x) g^{\prime}(x) \geqslant 0$ 在 $[-1,+\infty)$ 上桓成立．因为 $a>0$ ，故 $3 x^{2}+a>0$ ，

进而 $2 x+b \geqslant 0$ ，即 $b \geqslant-2 x$ 在区间 $[-1,+\infty)$ 上佰成立，所以 $b \geqslant 2$ ．因此 $b$ 的取值范围是 $[2,+\infty)$ ．
（2）令 $f^{\prime}(x)=0$ ，解得 $x= \pm \sqrt{-\frac{a}{3}}$ ．
若 $b>0$ ，由 $a<0$ 得 $0 \in(a, b)$ ．又因为 $f^{\prime}(0) g^{\prime}(0)=a b<0$ ，所以函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $(a, b)$ 上不是单调性一致的．因此 $b \leqslant 0$ ．
现设 $b \leqslant 0$ ．当 $x \in(-\infty, 0)$ 时，$g^{\prime}(x)<0$ ；当 $x \in\left(-\infty,-\sqrt{-\frac{a}{3}}\right)$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ．因此，
当 $x \in\left(-\infty,-\sqrt{-\frac{a}{3}}\right)$ 时，$f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)<0$ ．故由题设得 $a \geqslant-\sqrt{-\frac{a}{3}}$ 且 $b \geqslant-\sqrt{-\frac{a}{3}}$ ，从而 $-\frac{1}{3} \leqslant a<0$ ，于是 $-\frac{1}{3} \leqslant b \leqslant 0$ ．因此 $|a-b| \leqslant \frac{1}{3}$ ，且当 $a=-\frac{1}{3}, b=0$ 时等号成立．
又当 $a=-\frac{1}{3}, b=0$ 时，$f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)=6 x\left(x^{2}-\frac{1}{9}\right)$ ，从而当 $x \in\left(-\frac{1}{3}, 0\right)$ 时 $f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)>0$ ，故函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $\left(-\frac{1}{3}, 0\right)$ 上单调性一致。因此 $|a-b|$ 的最大值为 $\frac{1}{3}$ ．