2018_新课标 III 卷 (2018·文)
20．（12分）已知斜率为 $k$ 的直线 $\mid$ 与椭圆 $C: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 交于 $A, B$ 两点，线段 $A B$的中点为 $\mathrm{M}(1, \mathrm{~m})(\mathrm{m}>0)$ ．
（1）证明： $\mathrm{k}<-\frac{1}{2}$ ；
②设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 $\overrightarrow{\mathrm{FP}}+\overrightarrow{\mathrm{FA}}+\overrightarrow{\mathrm{FB}}=\overrightarrow{0}$ ，证明： $2|\overrightarrow{\mathrm{FP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{FA}}|+\mid \overrightarrow{\mathrm{FB}}$
I．
【考点】K4：椭圆的性质；KL：直线与椭圆的综合．
【专题】35：转化思想；4P：设而不求法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题
【分析】（1）设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，利用点差法得6 $\left(x_{1}-x_{2}\right)+8 m\left(y_{1}\right. \left.-y_{2}\right)=0, \quad k=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=-\frac{6}{8 m}=-\frac{3}{4 m}$
又点 $M(1, m)$ 在椭圆内，即 $\frac{1}{4}+\frac{m^{2}}{3}<1, ~(m>0)$ ，解得 $m$ 的取值范围，即可得 $\mathrm{k}<-\frac{1}{2}$,
②设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), P\left(x_{3}, y_{3}\right)$ ，可得 $x_{1}+x_{2}=2$
由 $\overrightarrow{F P}+\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{F B}=\overrightarrow{0}$ ，可得 $x_{3}-1=0$ ，由椭圆的焦半径公式得则 $|F A|=a-e x_{1}=2-\frac{1}{2} x_{1}$ ，$|F B|=2-\frac{1}{2} x_{2},|F P|=2-\frac{1}{2} x_{3}=\frac{3}{2}$ ．即可证明 $|F A|+|F B|=2|F P|$ ．
【解答】解：（1）设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
∵ 线段 AB 的中点为 $\mathrm{M}(1, \mathrm{~m})$ ，
$\therefore \mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}=2, \quad \mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}=2 \mathrm{~m}$
将 $A, B$ 代入椭圆 $C: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 中，可得
$\left\{\begin{array}{l}3 x_{1}^{2}+4 y_{1}^{2}=12 \\ 3 x_{2}^{2}+4 y_{2}^{2}=12\end{array}\right.$,
两式相减可得， $3\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(x_{1}-x_{2}\right)+4\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(y_{1}-y_{2}\right)=0$ ，
即6 $\left(x_{1}-x_{2}\right)+8 m\left(y_{1}-y_{2}\right)=0$ ，
$\therefore \mathrm{k}=\frac{\mathrm{y}_{1}-\mathrm{y}_{2}}{\mathrm{x}_{1}-\mathrm{x}_{2}}=-\frac{6}{8 \mathrm{~m}}=-\frac{3}{4 \mathrm{~m}}$
点M（ $1, m$ ）在椭圆内，即 $\frac{1}{4}+\frac{m^{2}}{3}<1, ~(m>0)$ ，
解得 $0
（2）证明：设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), P\left(x_{3}, y_{3}\right)$ ，
可得 $x_{1}+x_{2}=2$
$\because \overrightarrow{\mathrm{FP}}+\overrightarrow{\mathrm{FA}}+\overrightarrow{\mathrm{FB}}=\overrightarrow{0}, \mathrm{~F}(1,0), \therefore \mathrm{x}_{1}-1+\mathrm{x}_{2}-1+\mathrm{x}_{3}-1=0$ ，
$\therefore \mathrm{x}_{3}=1$
由椭圆的焦半径公式得则 $|F A|=a-e x_{1}=2-\frac{1}{2} x_{1},|F B|=2-\frac{1}{2} x_{2},|F P|=2-\frac{1}{2} x_{3}=\frac{3}{2}$
则 $|F A|+|F B|=4-\frac{1}{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)=3$ ，
$\therefore|F A|+|F B|=2|F P|$ ，
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了点差法、焦半径公式，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查．属于中档题．