（14 分）已知椭圆 C: x^ 2 +3 y^ 2 =3…——2015 高考数学第 20 题答案解析

【考点】K3：椭圆的标准方程； KH ：直线与圆锥曲线的综合．
【专题】26：开放型；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）通过将椭圆 C 的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；
（2）通过令直线 $A E$ 的方程中 $x=3$ ，得点 $M$ 坐标，即得直线 $B M$ 的斜率；
（3）分直线 $A B$ 的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可。
【解答】解：（1）∵ 椭圆 $C: x^{2}+3 y^{2}=3$ ，
∴ 椭圆 C 的标准方程为：$\frac{\mathrm{x}^{2}}{3}+\mathrm{y}^{2}=1$ ，
$\therefore a=\sqrt{3}, \quad b=1, \quad c=\sqrt{2}$ ，
∴ 椭圆 C 的离心率 $\mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ；
②$\because A B$ 过点 $D(1,0)$ 且垂直于 $x$ 轴，
∴ 可设 $A\left(1, y_{1}\right), B\left(1,-y_{1}\right)$ ，
$\because E(2,1), \therefore$ 直线 $A E$ 的方程为：$y-1=\left(1-y_{1}\right)(x-2)$ ，
令 $x=3$ ，得 $M\left(3,2-y_{1}\right)$ ，

∴ 直线 BM 的斜率 $\mathrm{k}_{\mathrm{BM}}=\frac{2-\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{1}}{3-1}=1$ ；
（3）结论：直线 BM 与直线 DE 平行．
证明如下：
当直线 AB 的斜率不存在时，由②知 $\mathrm{k}_{\mathrm{BM}}=1$ ，
又 ∵ 直线 $D E$ 的斜率 $\mathrm{k}_{\mathrm{DE}}=\frac{1-0}{2-1}=1, \therefore B M / / D E$ ；
当直线 $A B$ 的斜率存在时，设其方程为 $y=k(x-1)(k \neq 1)$ ，
设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
则直线 $A E$ 的方程为 $y-1=\frac{y_{1}-1}{x_{1}-2}(x-2)$ ，
令 $x=3$ ，则点 $M\left(3, \frac{x_{1}+y_{1}-3}{x_{1}-2}\right)$ ，
∴ 直线 BM 的斜率 $\mathrm{k}_{\mathrm{BM}}=\frac{\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{y}_{1}-3}{\mathrm{x}_{1}-2}-\mathrm{y}_{2}}{3-\mathrm{x}_{2}}$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+3 y^{2}=3 \\ y=k(x-1)\end{array}\right.$ 得 $\left(1+3 k^{2}\right) x^{2}-6 k^{2} x+3 k^{2}-3=0$ ，
由韦达定理，得 $x_{1}+x_{2}=\frac{6 k^{2}}{1+3 k^{2}}, x_{1} x_{2}=\frac{3 k^{2}-3}{1+3 k^{2}}$ ，
$\because k_{\text {BM }}-1=\frac{k\left(x_{1}-1\right)+x_{1}-3-k\left(x_{2}-1\right)\left(x_{1}-2\right)-\left(3-x_{2}\right)\left(x_{1}-2\right)}{\left(3-x_{2}\right)\left(x_{1}-2\right)}$
$=\frac{(k-1)\left[-x_{1} x_{2}+2\left(x_{1}+x_{2}\right)-3\right]}{\left(3-x_{2}\right)\left(x_{1}-2\right)}$
$=\frac{(k-1)\left(\frac{-3 k^{2}+3}{1+3 k^{2}}+\frac{12 k^{2}}{1+3 k^{2}}-3\right)}{\left(3-x_{2}\right)\left(x_{1}-2\right)}$
$=0$ ，
$\therefore \mathrm{k}_{\mathrm{BM}}=1=\mathrm{k}_{\mathrm{DE}}$ ，即 $\mathrm{BM} / / \mathrm{DE}$ ；
综上所述，直线 BM 与直线 DE 平行．
【点评】本题是一道直线与椭圆的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查计算能

力，注意解题方法的积累，属于中档题．