（本小题满分 13 分）已知双曲线 E: x^ 2 a^…——2014 高考数学第 19 题答案解析

【答案】①$\sqrt{5}$；（2）存在

## 【解析】

试题分析：（1）已知双曲线 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两定渐近线分别为 $l_{1}: y=2 x, l_{2}: y=-2 x$，所以根据 $\frac{b}{a}=2$ 即可求得结论．
（2）首先分类讨论直线 $l$ 的位置．由直线 $l$ 垂直 x 轴可得到一个结论．再讨论直线 $l$ 不垂直于 x 轴，由 $\triangle O A B$的面积恒为 8，则转化为 $S_{\triangle Q A B}=\frac{1}{2}|O C|\left|y_{1}-y_{2}\right|$。由自线与双曲纯方程联立以及韦达定理，即可得到直线 $l$ 有且只有一个公共点。

试题解析：（1）因为双曲线 E 的渐近线分别为和 $y=2 x, y=-2 x$．所以 $\frac{b}{a}=2, \therefore \frac{\sqrt{c^{2}-a^{2}}}{a}=2, \therefore c=\sqrt{5} a$，从而双曲线 E 的离心率 $e=\sqrt{5}$．
②由①知，双曲线 E 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{4 a^{2}}=1$．设直线 $l$ 与 x 轴相交于点 C．
当 $l \perp x$ 轴时，若直线 $l$ 与双曲线 E 有且只有一个公共点，则 $|O C|=a,|A B|=4 a$，又因为 $\triangle O A B$ 的面积为 8，所以 $\frac{1}{2}|O C||A B|=8, \therefore \frac{1}{2} a \cdot 4 a=8, \therefore a=2$．时双曲线 E 的方程为 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1$．

若存在满足条件的双曲线 E，则 E 的方程只能为 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1$．以下证明：当直线 $l$ 不与 x 轴垂直时，双曲线 E： $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1$ 也满足条件．

设直线 $l$ 的方程为 $y=k x+m$，依题意，得 $\mathrm{k}>2$ 或 $\mathrm{k}<-2$。则 $C\left(-\frac{m}{k}, 0\right)$，记 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$。由 $\left\{\begin{array}{l}y=2 x \\ y=k x+m\end{array}\right.$，得 $y_{1}=\frac{2 m}{2-k}$，同理得 $y_{2}=\frac{2 m}{2+k}$。由 $\left.S_{\triangle C A B}=\frac{1}{2}\left|O C_{| |}^{\prime}\right| y_{1}-y_{2} \right\rvert\,$ 得，$\frac{1}{2}\left|-\frac{m}{k}\right| \cdot\left|\frac{2 m}{2-k}-\frac{2 m}{2+k}\right|=8$ 即 $m^{2}=4\left|4-k^{2}\right|=4\left(k^{2}-4\right)$．

由 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+m \\ \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1\end{array}\right.$ 得，$\left(4-k^{2}\right) x^{2}-2 k m x-m^{2}-16=0$．因为 $+-k^{2}<0$，所以
$\Delta=4 k^{2} m^{2}+4\left(4-k^{2}\right)\left(m^{2}+16\right)=-16\left(4 k^{2}-m^{2}-16\right)$，又因为 $m^{2}=4\left(k^{2}-4\right)$．所以 $\Delta=0$，即 $l$ 与双曲线 E 有且只有一个公共点．

因此，存在总与 $l$ 有且只有一个公共点的双曲线 E，且 E 的方程为 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1$．
考点：1．双曲线的性质．2．直线与双曲线的位置关系．3．三角形的面积的表示．