以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合， B 表示具有如…_2014全国高考数学第15题答案解析 | 高考真题检索

Question

15．以 $A$ 表示值域为 R 的函数组成的集合，$B$ 表示具有如下性质的函数 $\varphi(x)$ 组成的集合：对于函数

$\varphi(x)$，存在一个正数 $M$，使得函数 $\varphi(x)$ 的值域包含于区间 $[-M, M]$。例如，当 $\varphi_{1}(x)=x^{3}, \varphi_{2}(x)=\sin x$时，$\varphi_{1}(x) \in A, \varphi_{2}(x) \in B$。现有如下命题：
①设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，则＂$f(x) \in A$＂的充要条件是＂$\forall b \in R, \exists a \in D, f(a)=b$＂；
②函数 $f(x) \in B$ 的充要条件是 $f(x)$ 有最大值和最小值；
③若函数 $f(x), g(x)$ 的定义域相同，且 $f(x) \in A, g(x) \in B$，则 $f(x)+g(x) 
otin B$；
④若函数 $f(x)=a \ln (x+2)+\frac{x}{x^{2}+1}(x>-2, a \in R)$ 有最大值，则 $f(x) \in B$．其中的真命题有 $\_\_\_\_$．（写出所有真命题的序号）

Accepted Answer

①③④

【答案】①③④ ## 【解析】 试题分析：对（1），若对任意的 $b \in R$，都 $\exists a \in D$，使得 $f(a)=b$，则 $f(x)$ 的值域必为 R；反之，$f(x)$ 的值域为 R，则对任意的 $b \in R$，都 $\exists a \in D$，使得 $f(a)=b$．故正确． 对②，比如函数 $f(x)=x(-1 0$ 或 $a<0$ 时 $a \ln x \in(-\infty,+\infty), f(x)$ 均无最大值．所以若 $f(x)$ 有最大值，则 $a=0$, 此时 $f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}, f(x) \in B$．故正确． ## 【考点定位】1、新定义；2、函数的定义域值域 ## 三．

以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合， B 表示具有如…——2014 高考数学第 15 题答案解析

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