（20）（本小题满分 12 分）
在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{3}+a_{4}+a_{5}=84, a_{9}=73$ ．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）对任意 $m \in N^{*}$ ，将数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中落入区间 $\left(9^{m}, 9^{2 m}\right)$ 内的项的个数记为 $b_{m}$ ，求数列 $\left\{b_{m}\right\}$ 的前 $m$ 项和 $S_{m}$ ．
## （21）（本小题满分 13 分）
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$F$ 是抛物线 $C: x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点，$M$ 是抛物线 $C$ 上位于第一象限内的任意一点，过 $M, F, O$ 三点的圆的圆心为 $Q$ ，点 $Q$ 到抛物线 $C$ 的准线的距离为 $\frac{3}{4}$ ．
（I）求抛物线 $C$ 的方程；
（II）是否存在点 $M$ ，使得直线 $M Q$ 与抛物线 $C$ 相切于点 $M$ ？若存在，求出点 $M$ 的坐标
；若不存在，说明理由；
（III）若点 $M$ 的横坐标为 $\sqrt{2}$ ，直线 $l: y=k x+\frac{1}{4}$ 与抛物线 $C$ 有两个不同的交点 $A, B, l$与圆 $Q$ 有两个不同的交点 $D, E$ ，求当 $\frac{1}{2} \leq k \leq 2$ 时，$|A B|^{2}+|D E|^{2}$ 的最小值．
22 （本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=\frac{\ln x+k}{e^{x}}$（ $k$ 为常数，$e=2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数），曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线与 $x$ 轴平行．
（I）求 $k$ 的值；
（II）求 $f(x)$ 的单调区间；
（III）设 $g(x)=\left(x^{2}+x\right) f^{\prime}(x)$ ，其中 $f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数．证明：对任意 $x>0, g(x)<1+e^{-2}$.
# 2012年山东省高考数学试卷（理科）