21．（12分）已知函数 $f(x)=x^{3}+3 a x^{2}+(3-6 a) x+12 a-4(a \in R)$
（I）证明：曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\mathrm{x}=0$ 处的切线过点 $(2,2)$ ；
（II）若 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处取得极小值，$x_{0} \in(1,3)$ ，求 $a$ 的取值范围。
（12分）已知函数 f(x)=x^ 3 +3 a x^ 2…——2011 高考数学第 21 题答案解析
2011_大纲版 (2011·文)
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【考点】6E：利用导数研究函数的最值； 6 H ：利用导数研究曲线上某点切线方程。
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（I）求出函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的导数和 $f(0)$ 的值，结合直线方程的点斜式方程，可求切线方程；
（II）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处取得最小值必是函数的极小值，可以先通过讨论导数的零点存在性，得出函数有极小值的 a 的大致取值范围，然后通过极小值对应的 $\mathrm{x}_{0} \in(1,3)$ ，解关于 $a$ 的不等式，从而得出取值范围
【解答】解：（ I ）$f^{\prime}(x)=3 x^{2}+6 a x+3-6 a$
由 $f(0)=12 a-4, f^{\prime}(0)=3-6 a$ ，
可得曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的切线方程为 $y=(3-6 a) x+12 a-4$ ，
当 $x=2$ 时，$y=2(3-6 a)+12 a-4=2$ ，可得点 $(2,2)$ 在切线上
∴ 曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 的切线过点（ 2,2 ）
（II）由 $f^{\prime}(x)=0$ 得
$x^{2}+2 a x+1-2 a=0 \ldots$
方程①的根的判别式
$\Delta=4 a^{2}-4(1-2 a)=4(a+1+\sqrt{2}) \quad(a+1-\sqrt{2})$
①当 $-\sqrt{2}-1 \leqslant a \leqslant \sqrt{2}-1$ 时，函数 $f(x)$ 没有极小值
②当 $\mathrm{a}<-\sqrt{2}-1$ 或 $\mathrm{a}>\sqrt{2}-1$ 时，
由 $f^{\prime}(x)=0$ 得 $x_{1}=-a-\sqrt{a^{2}+2 a-1}, x_{2}=-a+\sqrt{a^{2}+2 a-1}$
故 $x_{0}=x_{2}$ ，由题设可知 $1<-a+\sqrt{a^{2}+2 a-1}<3$
（i）当 $a>\sqrt{2}-1$ 时，不等式 $1<-a+\sqrt{a^{2}+2 a-1}<3$ 没有实数解；
（ii）当 $a<-\sqrt{2}-1$ 时，不等式 $1<-a+\sqrt{a^{2}+2 a-1}<3$
化为 $a+1<\sqrt{a^{2}+2 a-1}
【点评】将字母 a 看成常数，讨论关于 x 的三次多项式函数的极值点，是解决本题的难点，本题中处理关于 $a$ 的无理不等式，计算也比较繁，因此本题对能力的要求比较高。
✅ 来源：2011年 · 全国 · 2011_大纲版 (2011·文) · 第 21 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
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