（12分）已知函数 f(x)= a ln x x+1 +…——2011 高考数学第 21 题答案解析

【考点】6E：利用导数研究函数的最值； 6 H ：利用导数研究曲线上某点切线方程。

【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想．
【分析】（I）求出函数的导数；利用切线方程求出切线的斜率及切点；利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出 $a$ ，$b$ 值．
（II）将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，对参数 k 分类讨论，判断出导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最值，求出参数 k 的范围。

【解答】解：由题意 $f(1)=1$ ，即切点坐标是 $(1,1)$
（I）$f^{\prime}(x)=\frac{a\left(\frac{x+1}{x}-\ln x\right)}{(x+1)^{2}}-\frac{b}{x^{2}}$
由于直线 $x+2 y-3=0$ 的斜率为 $-\frac{1}{2}$ ，且过点 $(1,1)$ ，故 $\left\{\begin{array}{l}f(1)=1 \\ f^{\prime}(1)=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$
即 $\left\{\begin{array}{l}b=1 \\ \frac{a}{2}-b=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$ 解得 $a=1, b=1$ ．
（II）由（I）知 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{\ln \mathrm{x}}{\mathrm{x}+1}+\frac{1}{\mathrm{x}}$ ，所以
$f(x)-\left(\frac{\ln x}{x-1}+\frac{k}{x}\right)=\frac{1}{1-x^{2}}\left(2 \ln x+\frac{(k-1)\left(x^{2}-1\right)}{x}\right)$.
考虑函数 $h(x)=2 \ln x+\frac{(k-1)\left(x^{2}-1\right)}{x}(x>0)$ ，则
$h^{\prime}(x)=\frac{(k-1)\left(x^{2}+1\right)+2 x}{x^{2}}$.
（i）设 $k \leq 0$ ，由 $h^{\prime}(x)=\frac{k\left(x^{2}+1\right)-(x-1)^{2}}{x^{2}}$ 知，当 $x \neq 1$ 时，$h^{\prime}(x)<0$ ．而 $h(1$ ）＝0，故
当 $x \in(0,1)$ 时，$h^{\prime}(x)<0$ ，可得 $\frac{1}{1-x^{2}} h(x)>0$ ；
当 $x \in(1,+\infty)$ 时，$h^{\prime}(x)<0$ ，可得 $\frac{1}{1-x^{2}} h(x)>0$
从而当 $x>0$ ，且 $x \neq 1$ 时，$f(x)-\left(\frac{\ln x}{x-1}+\frac{k}{x}\right)>0$ ，即 $f(x)>\frac{\ln x}{x-1}+\frac{k}{x}$ ．
（ii）设 $00$ ，故 $h^{\prime}(x$ ）$>0$ ，而
$h(1)=0$ ，故当 $x \in\left(1, \frac{1}{1-k}\right)$ 时，$h(x)>0$ ，可得 $\frac{1}{1-x^{2}} h(x)<0$ ，与题设矛盾。
（iii）设 $k \geq 1$ ．此时 $h^{\prime}(x)>0$ ，而 $h(1)=0$ ，故当 $x \in(1,+\infty)$ 时，$h(x)>0$ ，可得 $\frac{1}{1-x^{2}} h(x)<0$ ，与题设矛盾．
综合得， k 的取值范围为 $(-\infty, 0]$ ．
【点评】本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线的斜率、考

查构造函数，通过导数研究函数的单调性，求出函数的最值、考查了分类讨论的数学思想方法．