（13 分）已知函数 f(x)=ln 1+x 1-x， （…——2015 高考数学第 18 题答案解析

【考点】6E：利用导数研究函数的最值； 6 H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．

【专题】53：导数的综合应用．
【分析】①利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程．
②构造新函数利用函数的单调性证明命题成立．
③对 k 进行讨论，利用新函数的单调性求参数 k 的取值范围．
【解答】解答：①因为 $f(x)=\ln (1+x)-\ln (1-x)$ 所以 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}, \quad f^{\prime} \quad(0)=2$
又因为 $f(0)=0$ ，所以曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程为 $y=2 x$ ．
②证明：令 $g(x)=f(x)-2\left(x+\frac{x^{3}}{3}\right)$ ，则

$g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-2\left(1+x^{2}\right)=\frac{2 x^{2}}{1-x^{2}}$,
因为 $g^{\prime}(x)>0(0所以 $g(x)>g(0)=0, x \in(0,1)$ ，
即当 $x \in(0,1)$ 时，$f(x)>2\left(x+\frac{x^{3}}{3}\right)$ ．
③由②知，当 $k \leqslant 2$ 时，$f(x)>k\left(x+\frac{x^{3}}{3}\right)$ 对 $x \in(0,1)$ 恒成立。
当 $k>2$ 时，令 $h(x)=f(x)-k\left(x+\frac{x^{3}}{3}\right)$ ，则
$h^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-k\left(1+x^{2}\right)=\frac{k x^{4}-(k-2)}{1-x^{2}}$,
所以当 $0

当 $0所以当 $k>2$ 时，$f(x)>k\left(x+\frac{x^{3}}{3}\right)$ 并非对 $x \in(0,1)$ 恒成立．
综上所知，$k$ 的最大值为 2 。
【点评】本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明．在高考中属常考题型，难度适中．