（13 分）已知函数 f(x)=a x^ 2 +1(a>0…——2012 高考数学第 18 题答案解析

【考点】6E：利用导数研究函数的最值； 6 H ：利用导数研究曲线上某点切线方程。

【专题】53：导数的综合应用．
【分析】（1）根据曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 与曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求 $\mathrm{a} , \mathrm{~b}$ 的值；
（2）当 $a=3, b=-9$ 时，设 $h(x)=f(x)+g(x)=x^{3}+3 x^{2}-9 x+1$ ，求导函数，确定函数的极值点，进而可得 $k \leqslant-3$ 时，函数 $h(x)$ 在区间 $[k, 2]$ 上的最大值为 $h(-3)=28 ;-3

【解答】解：①$f(x)=a x^{2}+1(a>0)$ ，则 $f^{\prime}(x)=2 a x, k_{1}=2 a$ ，
$g(x)=x^{3}+b x$ ，则 $g^{\prime}(x)=3 x^{2}+b, k_{2}=3+b$ ，
由（ $1, ~ c$ ）为公共切点，可得： $2 a=3+b$①
又 $f(1)=a+1, g(1)=1+b$ ，
$\therefore a+1=1+b$,
即 $a=b$ ，代入①式，可得：$a=3, b=3$ ．
②当 $a=3, ~ b=-9$ 时，设 $h(x)=f(x)+g(x)=x^{3}+3 x^{2}-9 x+1$
则 $h^{\prime}(x)=3 x^{2}+6 x-9$ ，
令 $\mathrm{h}^{\prime}(\mathrm{x})=0$ ，
解得：$x_{1}=-3, x_{2}=1$ ；
$\therefore \mathrm{k} \leqslant-3$ 时，函数 $\mathrm{h}(\mathrm{x})$ 在 $(-\infty,-3)$ 上单调增，在 $(-3,1]$ 上单调减， $(1,2)$ 上单调增，所以在区间 $[k, 2]$ 上的最大值为 $h(-3)=28$
$-3所以 k 的取值范围是 $(-\infty,-3$ ］
【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数．