（12分）等差数列 a_ n 中， a_ 4 =10 且…——2008 高考数学第 18 题答案解析

【考点】85：等差数列的前 n 项和．
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】先设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，根据 $a_{3}, a_{6}, a_{10}$ 成等比数列可知 $a_{3} a_{10}=a_{6}{ }^{2}$ ，把 $d$ 和 $a_{4}$ 代入求得 $d$ 的值。再根据 $a_{4}$ 求得 $a_{1}$ ，最后把 $d$ 和 $a_{1}$ 代入 $S_{20}$ 即可得到答案

【解答】解：设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，则 $a_{3}=a_{4}-d=10-d, a_{6}=a_{4}+2 d=10+2 d, a_{10}= a_{4}+6 d=10+6 d$.

由 $a_{3}, a_{6}, a_{10}$ 成等比数列得 $a_{3} a_{10}=a_{6}{ }^{2}$ ，

即 $(10-d)(10+6 d)=(10+2 d)^{2}$ ，
整理得 $10 d^{2}-10 d=0$ ，
解得 $d=0$ 或 $d=1$ ．
当 $d=0$ 时，$S_{20}=20 a_{4}=200$ ．
当 $d=1$ 时，$a_{1}=a_{4}-3 d=10-3 \times 1=7$ ，
于是 $\mathrm{S}_{20}=20 \mathrm{a}_{1}+\frac{20 \times 19}{2} \mathrm{~d}=20 \times 7+190=330$ 。
【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．属基础题．