2010 全国高考数学 2010_旧全国 II 卷 (2010·文) 第 18 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

18．（12分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列 $a_{1}+a_{2}=2\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}\right), a_{3}+a_{4}+a { }_{5}=64\left(\frac{1}{a_{3}}+\frac{1}{a_{4}}+\frac{1}{a_{5}}\right)$
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}}+\frac{1}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}\right)^{2}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ ．

Accepted Answer

【考点】88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和． 【专题】11：计算题． 【分析】①由题意利用等比数列的通项公式建立首项 $\mathrm{a}_{1}$ 与公比 q 的方程，然后求解即可 ②由 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}$ 的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解 【解答】解：①设正等比数列 $\left\{a_{n}ight\}$ 首项为 $a_{1}$ ，公比为 $q$ ，由题意得： $$ \left\{\begin{array} { l } { a _ { 1 } ( 1 + q ) = 2 \cdot \frac { 1 } { a _ { 1 } } \cdot \frac { 1 } { q } ( 1 + q ) } \ { a _ { 1 } q ^ { 2 } ( 1 + q + q ^ { 2 } ) = 6 4 \cdot \frac { 1 } { a _ { 1 } q ^ { 4 } } ( 1 + q + q ^ { 2 } ) } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { a _ { 1 } { } ^ { 2 } q = 2 } \ { a _ { 1 } { } ^ { 2 } q ^ { 6 } = 6 4 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a_{1}=1 \ q=2 \end{array} 	herefore a_{n}=2^{n-1}(6 	ext { 分 }ight.ight.ight. $$ ②$b_{n}=\left(2^{n-1}+\frac{1}{2^{n-1}}ight)^{2}=4^{n-1}+\left(\frac{1}{4}ight)^{n-1}+2$ $	herefore b_{n}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}=\frac{1\left(1-4^{n}ight)}{1-4}+\frac{1\left(1-\frac{1}{4^{n}}ight)}{1-\frac{1}{4}}+2 n=\frac{1}{3} \cdot 4^{n}-\frac{4}{3} \cdot\left(\frac{1}{4}ight)^{n}+2 n+1 \quad$（12 分） 【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能②此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质

2010 高考数学第 18 题答案解析

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