18．（12分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列 $a_{1}+a_{2}=2\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}\right), a_{3}+a_{4}+a { }_{5}=64\left(\frac{1}{a_{3}}+\frac{1}{a_{4}}+\frac{1}{a_{5}}\right)$
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}}+\frac{1}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}\right)^{2}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ ．
（12分）已知 a_ n 是各项均为正数的等比数列 a_…——2010 高考数学第 18 题答案解析
2010_旧全国 II 卷 (2010·文)
完整解析 · 逐步详解
【考点】88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．
【专题】11：计算题．
【分析】①由题意利用等比数列的通项公式建立首项 $\mathrm{a}_{1}$ 与公比 q 的方程，然后求解即可
②由 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}$ 的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解
【解答】解：①设正等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 首项为 $a_{1}$ ，公比为 $q$ ，由题意得：
$$ \left\{\begin{array} { l } { a _ { 1 } ( 1 + q ) = 2 \cdot \frac { 1 } { a _ { 1 } } \cdot \frac { 1 } { q } ( 1 + q ) } \\ { a _ { 1 } q ^ { 2 } ( 1 + q + q ^ { 2 } ) = 6 4 \cdot \frac { 1 } { a _ { 1 } q ^ { 4 } } ( 1 + q + q ^ { 2 } ) } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { a _ { 1 } { } ^ { 2 } q = 2 } \\ { a _ { 1 } { } ^ { 2 } q ^ { 6 } = 6 4 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a_{1}=1 \\ q=2 \end{array} \therefore a_{n}=2^{n-1}(6 \text { 分 }\right.\right.\right. $$
②$b_{n}=\left(2^{n-1}+\frac{1}{2^{n-1}}\right)^{2}=4^{n-1}+\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}+2$
$\therefore b_{n}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}=\frac{1\left(1-4^{n}\right)}{1-4}+\frac{1\left(1-\frac{1}{4^{n}}\right)}{1-\frac{1}{4}}+2 n=\frac{1}{3} \cdot 4^{n}-\frac{4}{3} \cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{n}+2 n+1 \quad$（12 分）
【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能②此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质
✅ 来源：2010年 · 全国 · 2010_旧全国 II 卷 (2010·文) · 第 18 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
再练一道 · 同类压轴题
2023 区分题 · 2023_全国甲卷 (2023·理)
已知正项等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和，$S_{5}=5 S_{3}-4$ ，则 $S_{4}=()$
A 7
B． 9
C． 15
D． 30
2020 区分题 · 2020_新课标 I 卷 (2020)
已知公比大于 1 的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2}+a_{4}=20, a_{3}=8$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求 $a_{1} a_{2}-a_{2} a_{3}+\ldots+(-1)^{n-1} a_{n} a_{n+1}$ ．
2020 区分题 · 2020_新课标 II 卷 (2020)
已知公比大于 1 的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2}+a_{4}=20, a_{3}=8$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求 $a_{1} a_{2}-a_{2} a_{3}+\ldots+(-1)^{n-1} a_{n} a_{n+1}$ ．