（12分）函数 f(x)=x^ 2 -2 x-3，定义数列…——2012 高考数学第 22 题答案解析

【考点】 8 H ：数列递推式； 8 I ：数列与函数的综合．
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（ I ）用数学归纳法证明：① $\mathrm{n}=1$ 时， $\mathrm{x}_{1}=2$ ，直线 $\mathrm{PQ}_{1}$ 的方程为 $y-5=\frac{f②-5}{2-4}(x-4)$ ，当 $y=0$ 时，可得 $x_{2}=\frac{11}{4}$ ；②假设 $n=k$ 时，结论成立，即 2

$\leq x_{k}

而结论成立。
（II）由（I），可得 $x_{n+1}=\frac{3+4 x_{n}}{2+x_{n}}$ ，构造 $b_{n}=x_{n}-3$ ，可得 $\left\{\frac{1}{b_{n}}+\frac{1}{4}\right\}$ 是以 $-\frac{3}{4}$ 为首项， 5 为公比的等比数列，由此可求数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的通项公式．
【解答】（I ）证明：①$n=1$ 时，$x_{1}=2$ ，直线 $P Q_{1}$ 的方程为 $y-5=\frac{f②-5}{2-4}(x-4)$当 $y=0$ 时，$\quad \therefore x_{2}=\frac{11}{4}, \quad \therefore 2 \leq x_{1}（2）假设 $n=k$ 时，结论成立，即 $2 \leq x_{k}

$$ y-5=\frac{f\left(x_{k+1}\right)-5}{x_{k+1}-4}(x-4) $$

当 $y=0$ 时，$\therefore x_{k+2}=\frac{3+4 x_{k+1}}{2+x_{k+1}}$
$\because 2 \leq x_{k}$x_{k+2}-x_{k+1}=\frac{\left(3-x_{k+1}\right)\left(1+x_{k+1}\right)}{2+x_{k+1}}>0$
$\therefore \mathrm{x}_{\mathrm{k}+1}<\mathrm{x}_{\mathrm{k}+2}$
$\therefore 2 \leq \mathrm{x}_{\mathrm{k}+1}<\mathrm{x}_{\mathrm{k}+2}<3$
即 $n=k+1$ 时，结论成立
由①②可知： $2 \leq x_{n}（II）由（I），可得 $x_{n+1}=\frac{3+4 x_{n}}{2+x_{n}}$
设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\mathrm{x}_{\mathrm{n}}-3, \therefore \frac{1}{\mathrm{~b}_{\mathrm{n}+1}}=\frac{5}{\mathrm{~b}_{\mathrm{n}}}+1$
$\therefore \frac{1}{\mathrm{~b}_{\mathrm{n}+1}}+\frac{1}{4}=5\left(\frac{1}{\mathrm{~b}_{\mathrm{n}}}+\frac{1}{4}\right)$
$\therefore\left\{\frac{1}{b_{n}}+\frac{1}{4}\right\}$ 是以 $-\frac{3}{4}$ 为首项， 5 为公比的等比数列

$$ \begin{aligned} & \therefore \frac{1}{b_{n}}+\frac{1}{4}=\left(\frac{3}{4}\right) \times 5^{n-1} \\ & \therefore b_{n}=-\frac{4}{3 \times 5^{n-1}+1} \\ & \therefore x_{n}=b_{n}+3=3-\frac{4}{3 \times 5^{n-1}+1} \end{aligned} $$

【点评】本题考查数列的通项公式，考查数列与函数的综合，解题的关键是从函数入手，确定直线方程，求得交点坐标，再利用数列知识解决．