（本小题满分 12 分） 根据以往的经验，某工程施工期间的…——2012 高考数学第 20 题答案解析

## 【解析】

（ I ）由已知条件和概率的加法公式有：

$$ \begin{aligned} & P(X<300)=0.3, P(300 \leq X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4, \\ & P(700 \leq X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2 . \\ & P(X \geq 900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1 . \end{aligned} $$

所以 $Y$ 的分布列为：

于是，$E(Y)=0 \times 0.3+2 \times 0.4+6 \times 0.2+10 \times 0.1=3$ ；

$$ D(Y)=(0-3)^{2} \times 0.3+(2-3)^{2} \times 0.4+(6-3)^{2} \times 0.2+(10-3)^{2} \times 0.1=9.8 . $$

故工期延误天数 $Y$ 的均值为 3 ，方差为 9.8 ．
（II）由概率的加法公式，$P(X \geq 300)=1-P(X<300)=0.7$ ，
．$P(300 \leq X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6$ ．
由条件概率，得 $P(Y \leq 6 \mid X \geq 300)=P(X<900 \mid X \geq 300)=\frac{P(300 \leq X<900)}{P(X \geq 300)}=\frac{0.6}{0.7}=\frac{6}{7}$ ．
故在降水墨 $x$ 至少是 300 mm 的条件下，工期延误不超过 6 天的概率是 $\frac{6}{7}$ ．
【考点定位】本小题考查概率与统计的基础知识。概率统计是高考的一个热豦问题，几乎年年必考，熟练基础知识是解决好类题目的关键．

## 21．（本小题满分 13 分）

设 $A$ 是单位圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 上的任意一点，$i$ 是过点 $A$ 与 $x$ 轴垂直的直线，$D$ 是直线 $i$ 与 $x$ 轴的交点，点 $M$ 在直线 $l$ 上，且满足 $|D M|=m|D A|(m>0$ ，且 $m \neq 1)$ 。当点 $A$ 在圆上运动时，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ 。
（I）求曲线 C 的方程，判断曲线 C 为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
＊（II）过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 $\mathrm{P} , \mathrm{Q}$ 两点，其中 P 在第一象限，它在 y 轴上的射影为点 N ，直线 QN 交曲线 C 于另一点 H ，是否存在 m ，使得对任意的 $\mathrm{k}>0$ ，都有 $\mathrm{PQ} \perp \mathrm{PH}$ ？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由。

## 【解析】

（ I ）如图 1，设 $M(x, y), A\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，则由 $|D M|=m|D A|(m>0$ ，且 $m \neq 1)$ ，
可得 $x=x_{0},|y|=m\left|y_{0}\right|$ ，所以 $x_{0}=x,\left|y_{0}\right|=\frac{1}{m}|y|$ ．

因为 $A$ 点在单位圆上运动，所以 $x_{0}{ }^{2}+y_{0}{ }^{2}=1$ ．

将①式代入②式即得所求曲线 $C$ 的方程为 $x^{2}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(m>0$ ，且 $m \neq 1)$ ．
因为 $m \in(0,1) \cup(1,+\infty)$ ，所以
当 $0两焦点坐标分别为 $\left(-\sqrt{1-m^{2}}, 0\right),\left(\sqrt{1-m^{2}}, 0\right)$ ；
当 $m>1$ 时，曲线 $C$ 是焦点在 $y$ 轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为 $\left(0,-\sqrt{m^{2}-1}\right),\left(0, \sqrt{m^{2}-1}\right)$ ．
（II）解法 1：如图 2、3，$\forall k>0$ ，设 $P\left(x_{1}, k x_{1}\right), H\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，则 $Q\left(-x_{1},-k x_{1}\right), N\left(0, k x_{1}\right)$ ，直线 $Q N$ 的方程为 $y=2 k x+k x_{1}$ ，将其代入椭圆 $C$ 的方程并整理可得
$\left(m^{2}+4 k^{2}\right) x^{2}+4 k^{2} x_{1} x+k^{2} x_{1}^{2}-m^{2}=0$.
依题意可知此方程的两根为 $-x_{1}, x_{2}$ ，于是由韦达定理可得
$-x_{1}+x_{2}=-\frac{4 k^{2} x_{1}}{m^{2}+4 k^{2}}$ ，即 $x_{2}=\frac{m^{2} x_{1}}{m^{2}+4 k^{2}}$ ．
因为点 $H$ 在直线 $Q N$ 上，所以 $y_{2}-k x_{1}=2 k x_{2}=\frac{2 k m^{2} x_{1}}{m^{2}+4 k^{2}}$ ．
于是 $\overrightarrow{P Q}=\left(-2 x_{1},-2 k x_{1}\right), \overrightarrow{P H}=\left(x_{2}-x_{1}, y_{2}-k x_{1}\right)=\left(-\frac{4 k^{2} x_{1}}{m^{2}+4 k^{2}}, \frac{2 k m^{2} x_{1}}{m^{2}+4 k^{2}}\right)$ ．
而 $P Q \perp P H$ 等价于 $\overrightarrow{P Q} \cdot \overrightarrow{P H}=\frac{4\left(2-m^{2}\right) k^{2} x_{1}^{2}}{m^{2}+4 k^{2}}=0$ ，
即 $2-m^{2}=0$ ，又 $m>0$ ，得 $m=\sqrt{2}$ ，
故存在 $m=\sqrt{2}$ ，使得在其对应的椭圆 $x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 上，对任意的 $k>0$ ，都有 $P Q \perp P H$ ．

图 1

图 $2(0

왕 $3(m>1)$

解法 2：如图 2、 $3, \forall x_{1} \in(0,1)$ ，设 $\underset{\text { 第 } 21 \text { 题解答图 }}{H\left(x_{1}, y_{2}\right)}$ ，则 $Q\left(-x_{1},-y_{1}\right), N\left(0, y_{1}\right)$ ，
因为 $P, H$ 两点在椭圆 $C$ 上，所以 $\left\{\begin{array}{l}m^{2} x_{1}{ }^{2}+y_{1}{ }^{2}=m^{2} \\ m^{2} x_{2}{ }^{2}+y_{2}{ }^{2}=m^{2}\end{array}\right.$ 两式相减可得 $m^{2}\left(x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right)+\left(y_{1}^{2}-y_{2}^{2}\right)=0$ ．

依题意，由点 $P$ 在第一象限可知，点 $H$ 也在第一象限，且 $P, H$ 不重合，故 $\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}+x_{2}\right) \neq 0$ ．于是由（3）式可得

$$ \frac{\left(y_{1}-y_{2}\right)\left(y_{1}+y_{2}\right)}{\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}+x_{2}\right)}=-m^{2} $$

又 $Q, N, H$ 三点共线，所以 $k_{Q N}=k_{Q H}$ ，即 $\frac{2 y_{1}}{x_{1}}=\frac{y_{1}+y_{2}}{x_{1}+x_{2}}$ ．
于是由（4）式可得 $k_{P Q} \cdot k_{P H}=\frac{y_{1}}{x_{1}} \cdot \frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{\left(y_{1}-y_{2}\right)\left(y_{1}+y_{2}\right)}{\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}+x_{2}\right)}=-\frac{m^{2}}{2}$ ．
而 $P Q \perp P H$ 等价于 $k_{P Q} \cdot k_{P H}=-1$ ，即 $-\frac{m^{2}}{2}=-1$ ，又 $m>0$ ，得 $m=\sqrt{2}$ ，
故存在 $m=\sqrt{2}$ ，使得在其对应的椭圆 $x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 上，对任意的 $k>0$ ，都有 $P Q \perp P H$ ．
【考点定位】本小题考查直线与圆以及圆锥曲线等基础知识，考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等数学思想方法，考查同学们分析问题和解决问题的能力。