2012_退役省自主命题 (2012·理)
20．（本小题满分 12 分）
根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位： mm ）对工期的影响如下表：
| 降水量X | $X<300$ | $300 \leqslant X<700$ | $700 \leqslant X<900$ | $\mathrm{X} \geqslant 900$ |
|---|---|---|---|---|
| 工期延误天数Y | 0 | 2 | 6 | 10 |
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于 $300,700,900$ 的概率分别为 0.3 ， $0.7,0.9$ ，求：
（I）工期延误天数 $Y$ 的均值与方差；
（II）在降水量X至少是 300 的条件下，工期延误不超过 6 天的概率。
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【解析】
（ I ）由已知条件和概率的加法公式有：
$$ \begin{aligned} & P(X<300)=0.3, P(300 \leq X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4, \\ & P(700 \leq X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2 . \\ & P(X \geq 900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1 . \end{aligned} $$
所以 $Y$ 的分布列为：
| $Y$ | 0 | 2 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| $P$ | 0.3 | 0.4 | 0.2 | 0.1 |
于是，$E(Y)=0 \times 0.3+2 \times 0.4+6 \times 0.2+10 \times 0.1=3$ ；
$$ D(Y)=(0-3)^{2} \times 0.3+(2-3)^{2} \times 0.4+(6-3)^{2} \times 0.2+(10-3)^{2} \times 0.1=9.8 . $$
故工期延误天数 $Y$ 的均值为 3 ，方差为 9.8 ．
（II）由概率的加法公式，$P(X \geq 300)=1-P(X<300)=0.7$ ，
．$P(300 \leq X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6$ ．
由条件概率，得 $P(Y \leq 6 \mid X \geq 300)=P(X<900 \mid X \geq 300)=\frac{P(300 \leq X<900)}{P(X \geq 300)}=\frac{0.6}{0.7}=\frac{6}{7}$ ．
故在降水墨 $x$ 至少是 300 mm 的条件下，工期延误不超过 6 天的概率是 $\frac{6}{7}$ ．
【考点定位】本小题考查概率与统计的基础知识。概率统计是高考的一个热豦问题，几乎年年必考，熟练基础知识是解决好类题目的关键．