22．（12分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{n+1}=c-\frac{1}{a_{n}}$ ．
（I）设 $\mathrm{c}=\frac{5}{2}, \mathrm{~b}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}-2}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）求使不等式 $a_{n}<a_{n+1}<3$ 成立的 $c$ 的取值范围．
（12分）已知数列 a_ n 中， a_ 1 =1, a_…——2010 高考数学第 22 题答案解析
2010_旧全国 I 卷 (2010·理)
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【考点】8H：数列递推式；RG：数学归纳法．
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】①令 $c=\frac{5}{2}$ 代入到 $a_{n+1}=c-\frac{1}{a_{n}}$ 中整理并令 $b_{n}=\frac{1}{a_{n}-2}$ 进行替换，得到关系式 $b_{n+1}=4 b_{n}+2$ ，进而可得到 $\left\{b_{n}+\frac{2}{3}\right\}$ 是首项为 $-\frac{1}{3}$ ，公比为 4 的等比数列，先得到 $\left\{b_{n}+\frac{2}{3}\right\}$ 的通项公式，即可得到数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式。
②先求出 $n=1$ ， 2 时的 $c$ 的范围，然后用数学归纳法分 3 步进行证明当 $c>2$ 时 $a_{n} <a_{n+1}$ ，然后当 $c>2$ 时，令 $\alpha=\frac{c+\sqrt{c^{2}-4}}{2}$ ，根据由 $a_{n}+\frac{1}{a_{n}}<a_{n+1}+\frac{1}{a_{n}}=c$ 得 $a_{n}<\alpha$ 可发现 $c>\frac{10}{3}$ 时不能满足条件，进而可确定 $c$的范围．
【解答】解：（1）$a_{n+1}-2=\frac{5}{2}-\frac{1}{a_{n}}-2=\frac{a_{n}-2}{2 a_{n}}$ ，
$\frac{1}{a_{n+1}-2}=\frac{2 a_{n}}{a_{n}-2}=\frac{4}{a_{n}-2}+2$ ，即 $b_{n+1}=4 b_{n}+2$
$\mathrm{b}_{\mathrm{n}+1}+\frac{2}{3}=4\left(\mathrm{~b}_{\mathrm{n}}+\frac{2}{3}\right), \mathrm{a}_{1}=1$ ，故 $\mathrm{b}_{1}=\frac{1}{\mathrm{a}_{1}-2}=-1$
所以 $\left\{b_{n}+\frac{2}{3}\right\}$ 是首项为 $-\frac{1}{3}$ ，公比为 4 的等比数列，
$b_{n}+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3} \times 4^{n-1}, \quad b_{n}=-\frac{4^{n-1}}{3}-\frac{2}{3}$
（II）$a_{1}=1, a_{2}=c-1$ ，由 $a_{2}>a_{1}$ 得 $c>2$ 。
用数学归纳法证明：当c $>2$ 时 $a_{n}<a_{n+1}$ ．
（i）当 $n=1$ 时，$a_{2}=c-\frac{1}{a_{1}}>a_{1}$ ，命题成立；
（ii）设当 $n=k$ 时，$a_{k}<a_{k+1}$ ，
则当 $n=k+1$ 时，$a_{k+2}=c-\frac{1}{a_{k+1}}>c-\frac{1}{a_{k}}=a_{k+1}$
故由（i）（ii）知当c $>$ 2时，$a_{n}<a_{n+1}$
当 $c>2$ 时，令 $\alpha=\frac{c+\sqrt{c^{2}-4}}{2}$, 由 $a_{n}+\frac{1}{a_{n}}<a_{n+1}+\frac{1}{a_{n}}=c$ 得 $a_{n}<\alpha$
当 $2<c \leq \frac{10}{3}$ 时，$a_{n}<\alpha \leq 3$
当 $c>\frac{10}{3}$ 时，$\alpha>3$ 且 $1 \leq a_{n}<\alpha$
于是 $\alpha-a_{n+1}=\frac{1}{a_{n} \alpha}\left(\alpha-a_{n}\right) \leqslant \frac{1}{3}\left(\alpha-a_{n}\right)$
$\alpha-a_{n+1} \leq \frac{1}{3^{n}}(\alpha-1)$,
当 $n>\log _{3} \frac{\alpha-1}{\alpha-3}$ 时，$\alpha-a_{n+1}<\alpha-3, \quad a_{n+1}>3$
因此 $c>\frac{10}{3}$ 不符合要求。
所以 $c$ 的取值范围是 $\left(2, \frac{10}{3}\right]$ ．
【点评】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力，在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查．
✅ 来源：2010年 · 全国 · 2010_旧全国 I 卷 (2010·理) · 第 22 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
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已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是无穷数列。给出两个性质：
（1）对于 $\left\{a_{n}\right\}$ 中任意两项 $a_{i}, a_{j}(i>j)$ ，在 $\left\{a_{n}\right\}$ 中都存在一项 $a_{m}$ ，使 $\frac{a_{i}^{2}}{a_{j}}=a_{m}$ ；
（2）对于 $\left\{a_{n}\right\}$ 中任意项 $a_{n}(n \ldots 3)$ ，在 $\left\{a_{n}\right\}$ 中都存在两项 $a_{k}, a_{l}(k>l)$ 。使得 $a_{n}=\frac{a_{k}^{2}}{a_{l}}$ ．
（I）若 $a_{n}=n(n=1,2, \cdots)$ ，判断数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否满足性质①，说明理由；
（II）若 $a_{n}=2^{n-1}(n=1,2, \cdots)$ ，判断数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
（III）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列。
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（13 分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$a_{1} \in N^{*}, a_{1} \leqslant 36$ ，且 $a_{n+1}= \begin{cases}2 a_{n}, & a_{n} \leqslant 18 \\ 2 a_{n}-36, & a_{n}>18\end{cases} (n=1,2, \ldots)$ ，记集合 $M=\left\{a_{n} \mid n \in N^{*}\right\}$ 。
（I）若 $a_{1}=6$ ，写出集合 $M$ 的所有元素；
（II）如集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，证明： M 的所有元素都是 3 的倍数；
（III）求集合 $M$ 的元素个数的最大值．
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（22）（本题 14 分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}, a_{n} \geq 0, a_{1}=0, a_{n+1}^{2}+a_{n+1}-1=a_{n}^{2}\left(n \in N^{\bullet}\right)$ ．记
$$ S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n} . T_{n}=\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right)}+\cdots+\frac{1}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{n}\right)} . $$
求证：当 $n \in N^{\bullet}$ 时，
（ I ）$a_{n}<a_{n+1}$ ；
（II）$S_{n}>n-2$ ；
（III）$T_{n}<3$ 。