2010 全国高考数学 2010_旧全国 I 卷 (2010·理) 第 22 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

22．（12分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{n+1}=c-\frac{1}{a_{n}}$ ．
（I）设 $\mathrm{c}=\frac{5}{2}, \mathrm{~b}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}-2}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）求使不等式 $a_{n}<a_{n+1}<3$ 成立的 $c$ 的取值范围．

Accepted Answer

【考点】8H：数列递推式；RG：数学归纳法． 【专题】15：综合题；16：压轴题． 【分析】①令 $c=\frac{5}{2}$ 代入到 $a_{n+1}=c-\frac{1}{a_{n}}$ 中整理并令 $b_{n}=\frac{1}{a_{n}-2}$ 进行替换，得到关系式 $b_{n+1}=4 b_{n}+2$ ，进而可得到 $\left\{b_{n}+\frac{2}{3}ight\}$ 是首项为 $-\frac{1}{3}$ ，公比为 4 的等比数列，先得到 $\left\{b_{n}+\frac{2}{3}ight\}$ 的通项公式，即可得到数列 $\left\{b_{n}ight\}$ 的通项公式。 ②先求出 $n=1$ ， 2 时的 $c$ 的范围，然后用数学归纳法分 3 步进行证明当 $c>2$ 时 $a_{n} 2$ 时，令 $\alpha=\frac{c+\sqrt{c^{2}-4}}{2}$ ，根据由 $a_{n}+\frac{1}{a_{n}} \frac{10}{3}$ 时不能满足条件，进而可确定 $c$的范围． 【解答】解：（1）$a_{n+1}-2=\frac{5}{2}-\frac{1}{a_{n}}-2=\frac{a_{n}-2}{2 a_{n}}$ ， $\frac{1}{a_{n+1}-2}=\frac{2 a_{n}}{a_{n}-2}=\frac{4}{a_{n}-2}+2$ ，即 $b_{n+1}=4 b_{n}+2$ $\mathrm{b}_{\mathrm{n}+1}+\frac{2}{3}=4\left(\mathrm{~b}_{\mathrm{n}}+\frac{2}{3}ight), \mathrm{a}_{1}=1$ ，故 $\mathrm{b}_{1}=\frac{1}{\mathrm{a}_{1}-2}=-1$ 所以 $\left\{b_{n}+\frac{2}{3}ight\}$ 是首项为 $-\frac{1}{3}$ ，公比为 4 的等比数列， $b_{n}+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3} 	imes 4^{n-1}, \quad b_{n}=-\frac{4^{n-1}}{3}-\frac{2}{3}$ （II）$a_{1}=1, a_{2}=c-1$ ，由 $a_{2}>a_{1}$ 得 $c>2$ 。 用数学归纳法证明：当c $>2$ 时 $a_{n} a_{1}$ ，命题成立； （ii）设当 $n=k$ 时，$a_{k} c-\frac{1}{a_{k}}=a_{k+1}$ 故由（i）（ii）知当c $>$ 2时，$a_{n} 2$ 时，令 $\alpha=\frac{c+\sqrt{c^{2}-4}}{2}$, 由 $a_{n}+\frac…

2010 高考数学第 22 题答案解析

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