设函数 f(x)=ln (a-x)，已知 x=0 是函数…——2021 高考数学第 20 题答案解析

【答案】①$a=1$ ；（2）证明见详解

【解析】

【分析】①由题意求出 $y^{\prime}$ ，由极值点处导数为 0 即可求解出参数 $a$ ；
②由①得 $g(x)=\frac{x+\ln (1-x)}{x \ln (1-x)}, x<1$ 且 $x \neq 0$ ，分类讨论 $x \in(0,1)$ 和 $x \in(-\infty, 0)$ ，可等价转化为要证 $g(x)<1$ ，即证 $x+\ln (1-x)>x \ln (1-x)$ 在 $x \in(0,1)$ 和 $x \in(-\infty, 0)$ 上恒成立，结合导数和换元法即可求解

【详解】①由 $f(x)=\ln (a-x) \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{x-a}, y=x f(x) \Rightarrow y^{\prime}=\ln (a-x)+\frac{x}{x-a}$ ，
又 $x=0$ 是函数 $y=x f(x)$ 的极值点，所以 $y^{\prime}(0)=\ln a=0$ ，解得 $a=1$ ；

**方法一**：转化为有分母的函数

由（I ）知，$g(x)=\frac{x+\ln (1-x)}{x \ln (1-x)}=\frac{1}{\ln (1-x)}+\frac{1}{x}$ ，其定义域为 $(-\infty, 0) \cup(0,1)$ ．

要证 $g(x)<1$ ，即证 $\frac{1}{\ln (1-x)}+\frac{1}{x}<1$ ，即证 $\frac{1}{\ln (1-x)}<1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$ ．
（i）当 $x \in(0,1)$ 时，$\frac{1}{\ln (1-x)}<0, \frac{x-1}{x}<0$ ，即证 $\ln (1-x)>\frac{x}{x-1}$ ．令 $F(x)=\ln (1-x)-\frac{x}{x-1}$ ，因为 $F^{\prime}(x)=\frac{-1}{1-x}-\frac{-1}{(x-1)^{2}}=\frac{x}{(x-1)^{2}}>0$ ，所以 $F(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内为增函数，所以 $F(x)>F(0)=0$ ．
（ii）当 $x \in(-\infty, 0)$ 时，$\frac{1}{\ln (1-x)}>0, \frac{x-1}{x}>0$ ，即证 $\ln (1-x)>\frac{x}{x-1}$ ，由（i）分析知 $F(x)$ 在区

间 $(-\infty, 0)$ 内为减函数，所以 $F(x)>F(0)=0$ ．

综合（i）（ii）有 $g(x)<1$ 。

**方法二**：【最优解 】：转化为无分母函数

由①得 $f(x)=\ln (1-x), g(x)=\frac{x+f(x)}{x f(x)}=\frac{x+\ln (1-x)}{x \ln (1-x)}, x<1$ 且 $x \neq 0$ ，

当 $x \in(0,1)$ 时，要证 $g(x)=\frac{x+\ln (1-x)}{x \ln (1-x)}<1, \because x>0, \ln (1-x)<0, \therefore x \ln (1-x)<0$ ，即证
$x+\ln (1-x)>x \ln (1-x)$ ，化简得 $x+(1-x) \ln (1-x)>0$ ；
同理，当 $x \in(-\infty, 0)$ 时，要证 $g(x)=\frac{x+\ln (1-x)}{x \ln (1-x)}<1, \because x<0, \ln (1-x)>0, \therefore x \ln (1-x)<0$ ，即证
$x+\ln (1-x)>x \ln (1-x)$ ，化简得 $x+(1-x) \ln (1-x)>0$ ；
令 $h(x)=x+(1-x) \ln (1-x)$ ，再令 $t=1-x$ ，则 $t \in(0,1) \cup(1,+\infty), x=1-t$ ，
令 $\varphi(t)=1-t+t \ln t, \varphi^{\prime}(t)=-1+\ln t+1=\ln t$ ，
当 $t \in(0,1)$ 时，$\varphi^{\prime}(t)<0, \varphi(t)$ 单减，故 $\varphi(t)>\varphi(1)=0$ ；
当 $t \in(1,+\infty)$ 时，$\varphi^{\prime}(t)>0, \varphi(t)$ 单增，故 $\varphi(t)>\varphi(1)=0$ ；
综上所述，$g(x)=\frac{x+\ln (1-x)}{x \ln (1-x)}<1$ 在 $x \in(-\infty, 0) \cup(0,1)$ 恒成立．

**方法三**：利用导数不等式中的常见结论证明

令 $\varphi(x)=\ln x-(x-1)$ ，因为 $\varphi^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$ ，所以 $\varphi(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内是增函数，在区间 $(1,+\infty)$
内是减函数，所以 $\varphi(x) \leq \varphi(1)=0$ ，即 $\ln x \leq x-1$（当且仅当 $x=1$ 时取等号）．故当 $x<1$ 且 $x \neq 0$ 时，
$\frac{1}{1-x}>0$ 且 $\frac{1}{1-x} \neq 1, \ln \frac{1}{1-x}<\frac{1}{1-x}-1$ ，即 $-\ln (1-x)<\frac{x}{1-x}$ ，所以 $\ln (1-x)>\frac{x}{x-1}$ ．
（i）当 $x \in(0,1)$ 时， $0>\ln (1-x)>\frac{x}{x-1}$ ，所以 $\frac{1}{\ln (1-x)}<\frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}$ ，即 $\frac{1}{\ln (1-x)}+\frac{1}{x}<1$ ，所以 $g(x)<1$.
（ii）当 $x \in(-\infty, 0)$ 时， $\ln (1-x)>\frac{x}{x-1}>0$ ，同理可证得 $g(x)<1$ ．
综合（i）（ii）得，当 $x<1$ 且 $x \neq 0$ 时，$\frac{x+\ln (1-x)}{x \ln (1-x)}<1$ ，即 $g(x)<1$ ．

【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当 $x \in(0,1)$ 时，转化为证明
$\ln (1-x)>\frac{x}{x-1}$ ，当 $x \in(-\infty, 0)$ 时，转化为证明 $\ln (1-x)>\frac{x}{x-1}$ ，然后构造函数，利用导数研究单调

性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当 $x \in(0,1)$ 时， $x+(1-x) \ln (1-x)>0$ 成立和当 $x \in(-\infty, 0)$ 时，$x+(1-x) \ln (1-x)>0$ 成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数 $\varphi(x)=\ln x-(x-1)$ ，利用导数分析单调性，证得常见常用结论 $\ln x \leq x-1$（当且仅当 $x=1$ 时取等号）．然后换元得到 $\ln (1-x)>\frac{x}{x-1}$ ，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性。