（21）（本小题满分 14 分） 已知椭圆 x^ 2 a^…——2010 高考数学第 23 题答案解析

【解答】
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力。满分 14 分。
（I）解：由 $\mathrm{e}=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，得 $3 a^{2}=4 c^{2}$ ．再由 $c^{2}=a^{2}-b^{2}$ ，解得 $\mathrm{a}=2 \mathrm{~b}$ ．
由题意可知 $\frac{1}{2} \times 2 a \times 2 b=4$ ，即 $\mathrm{ab}=2$ ．
解方程组 $\left\{\begin{array}{l}a=2 b, \\ a b=2,\end{array}\right.$ 得 $\mathrm{a}=2, \mathrm{~b}=1$ ．
所以椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ ．
（II）（i）解：由（I）可知点 A 的坐标是（－ 2,0 ）．设点 B 的坐标为 $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ ，直线 $l$ 的斜率为 k ．则直线 $l$ 的方程为 $\mathrm{y}=\mathrm{k}(\mathrm{x}+2)$ ．

于是 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点的坐标满足方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=k(x+2), \\ \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1 .\end{array}\right.$ 消去 y 并整理，得

$$ \left(1+4 k^{2}\right) x^{2}+16 k^{2} x+\left(16 k^{2}-4\right)=0 $$

由 $-2 x_{1}=\frac{16 k^{2}-4}{1+4 k^{2}}$ ，得 $x_{1}=\frac{2-8 k^{2}}{1+4 k^{2}}$ ．从而 $y_{1}=\frac{4 k}{1+4 k^{2}}$ ．
所以 $|A B|=\sqrt{\left(-2-\frac{2-8 k^{2}}{1+4 k^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{4 k}{1+4 k^{2}}\right)^{2}}=\frac{4 \sqrt{1+k^{2}}}{1+4 k^{2}}$ ．
由 $|A B|=\frac{4 \sqrt{2}}{5}$ ，得 $\frac{4 \sqrt{1+k^{2}}}{1+4 k^{2}}=\frac{4 \sqrt{2}}{5}$ ．
整理得 $32 k^{4}-9 k^{2}-23=0$ ，即 $\left(k^{2}-1\right)\left(32 k^{2}+23\right)=0$ ，解得 $\mathrm{k}= \pm 1$ ．
所以直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{\pi}{4}$ 或 $\frac{3 \pi}{4}$ ．

（ii）解：设线段 AB 的中点为 M ，由（i）得到 M 的坐标为 $\left(-\frac{8 k^{2}}{1+4 k^{2}}, \frac{2 k}{1+4 k^{2}}\right)$ ．
以下分两种情况：
①当 $\mathrm{k}=0$ 时，点 B 的坐标是 $(2,0)$ ，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是 $\overrightarrow{Q A}=\left(-2,-y_{0}\right), \overrightarrow{Q B}=\left(2,-y_{0}\right)$ ．由 $\overrightarrow{Q A} \bullet \overrightarrow{Q B}=4$ ，得 $\mathrm{y}_{0}= \pm 2 \sqrt{2}$ 。
②当 $k \neq 0$ 时，线段 AB 的垂直平分线方程为 $y-\frac{2 k}{1+4 k^{2}}=-\frac{1}{k}\left(x+\frac{8 k^{2}}{1+4 k^{2}}\right)$ 。
令 $x=0$ ，解得 $y_{0}=-\frac{6 k}{1+4 k^{2}}$ 。
由 $\overrightarrow{Q A}=\left(-2,-y_{0}\right), \overrightarrow{Q B}=\left(x_{1}, y_{1}-y_{0}\right)$ ，
$\overrightarrow{Q A} \bullet \overrightarrow{Q B}=-2 x_{1}-y_{0}\left(y_{1}-y_{0}\right)=\frac{-2\left(2-8 k^{2}\right)}{1+4 k^{2}}+\frac{6 k}{1+4 k^{2}}\left(\frac{4 k}{1+4 k^{2}}+\frac{6 k}{1+4 k^{2}}\right)$
$=\frac{4\left(16 k^{4}+15 k^{2}-1\right)}{\left(1+4 k^{2}\right)^{2}}=4$,
整理得 $7 k^{2}=2$ 。故 $k= \pm \frac{\sqrt{14}}{7}$ 。所以 $y_{0}= \pm \frac{2 \sqrt{14}}{5}$ 。
综上，$y_{0}= \pm 2 \sqrt{2}$ 或 $y_{0}= \pm \frac{2 \sqrt{14}}{5}$