（12分）已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 C： x^…——2011 高考数学第 22 题答案解析

$\therefore \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right) ; \overrightarrow{O P}=\left(p_{1}, p_{2}\right)=-(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right.$ ，－ 1 ）
$\therefore \mathrm{p}$ 的坐标为 $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-1\right)$ 代入①方程成立，所以点 P 在 C 上．
（II）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q ，证明： $\mathrm{A} , \mathrm{P} , \mathrm{~B} , \mathrm{Q}$ 四点在同一圆上．
设线段 $A B$ 的中点坐标为 $\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$ ，即 $\left(\frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{1}{2}\right)$ ，则过线段 $A B$ 的中点且垂直于 $A B$ 的直线方程为：$y-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$ ，即 $y=\frac{\sqrt{2}}{2} x +\frac{1}{4}$ ；③
$\because \mathrm{P}$ 关于点 O 的对称点为 Q ，故 0 （ 0.0 ）为线段 PQ 的中点，
则过线段 $P Q$ 的中点且垂直于 $P Q$ 的直线方程为：$y=-\frac{\sqrt{2}}{2} \times(4)$ ；
（3）（4）联立方程组，解之得：$x=-\frac{\sqrt{2}}{8}, y=\frac{1}{8}$

（3）（4）的交点就是圆心 $\mathrm{O}_{1}\left(-\frac{\sqrt{2}}{8}, \frac{1}{8}\right)$ ，
$r^{2}=\left|O_{1} P\right|^{2}=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\left(-\frac{\sqrt{2}}{8}\right)\right)^{2}+\left(-1-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{99}{64}$
故过 P Q 两点圆的方程为：$\left(\mathrm{x}+\frac{\sqrt{2}}{8}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{99}{64} \ldots$⑤，
把 $y=-\sqrt{2} x+1 \ldots$（2）代入⑤，
有 $x_{1}+x_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}, y_{1}+y_{2}=1$
$\therefore \mathrm{A}$ ， B 也是在圆（5）上的．
$\therefore A , P , B , Q$ 四点在同一圆上．
【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．