17．（本小题满分 12 分）
图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图。
（I）求直方图中 $x$ 的值．
（II）在棱 $\mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 上是否存在一点 F ，使 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{~F} / /$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{BE}$ ？证明你的结论．
图5
## 19．（本小题满分 13 分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 8 km 的 $A, B$ 两点各建一个考察基地。视冰川面为平面形，以过 $A, B$ 两点的直线为 $x$ 轴，线段 $A B$ 的垂直平分线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系（图6）。在直线 $x=2$ 的右侧，考察范围为到点 $B$ 的距离不超过 $\frac{6 \sqrt{5}}{5} \mathrm{~km}$ 的区域；在直线 $x=2$ 的左侧，考察范围为到 $A, B$ 两点的距离之和不超过 $4 \sqrt{5} \mathrm{~km}$ 的区域。
（I）求考察区域边界曲线的方程；
（II）如图6所示，设线段 $P_{1} P_{2}, P_{2} P_{3}$ 是冰川的部分边界线 （不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2 km ，以后每年移动的距离为前一年的 2 倍，求冰川边界线移动到考察区域所
图6
## 20．（本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=x^{2}+b x+c(b, c \in R)$ ，对任意的 $x \in R$ ，恒有 $f^{\prime}(x) \leq f(x)$ ．
（I）证明：当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \leq(x+c)^{2}$ ；
（II）若对满足题设条件的任意b，c，不等式 $f(c)-f(b) \leq M\left(c^{2}-b^{2}\right)$ 恒成立，求 M的最小值．
## 21．（本小题满分 13 分）
数列 $\left\{a_{n}\right\}\left(n \in N^{*}\right)$ 中，$a_{1}=a, a_{n+1}$ 是函数 $f_{n}(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2}\left(3 a_{n}+n^{2}\right) x^{2}+3 n^{2} a_{n} x$ 的极小值点。
（I）当 $a=0$ 时，求通项 $a_{n}$ ；
（II）是否存在 $a$ ，使数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．
## 2010年湖南省高考数学试卷（理科）