2015_退役省自主命题 (2015·文)
17．（12分）（ $2015 \cdot$ 广东）某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度），以 $[160, ~ 180$ ），［ 180,200 ），［ 200,220 ），［220．240），［ 240,260 ），［ 260,280 ），［ 280,300 ）分组的频率分布直方图如图。
（1）求直方图中 x 的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，［220，240），［240，260），［260，280），［280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在 $[220,240)$ 的用户中应抽取多少户？
【解答】
（12分）（ $2015 \cdot$ 广东）某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度），以 $[160, ~ 180$ ），［ 180 ，200），［ 200 ，220），［220．240），［240，260），［260，280），［280，300）分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中 $x$ 的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，［220，240），［240，260），［260，280），［280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在［220，240）的用户中应抽取多少户？
【考点】频率分布直方图。
【专题】概率与统计。
【分析】（1）由直方图的性质可得 $(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025) \times 20=1$ ，解方程可得；
②由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在 $[220,240)$ 内，设中位数为 a ，解方程 $(0.002+0.0095++0.011) \times 20+0.0125 \times(\mathrm{a}-220)=0.5$ 可得；
（3）可得各段的用户分别为 $25,15,10,5$ ，可得抽取比例，可得要抽取的户数．
【解答】解：（1）由直方图的性质可得 $(0.002+0.0095+0.011+0.0125+\mathrm{x}+0.005+0.0025) \times 2 0=1$ ，
解方程可得 $\mathrm{x}=0.0075$ ，∴ 直方图中 x 的值为 0.0075 ；
（2）月平均用电量的众数是 $\frac{220+240}{2}=230$ ，
$\because(0.002+0.0095+0.011) \times 20=0.45<0.5$ ，
∴ 月平均用电量的中位数在 $[220,240)$ 内，
设中位数为 a ，由 $(0.002+0.0095+0.011) \times 20+0.0125 \times(\mathrm{a}-220)=0.5$ 可得 $\mathrm{a}=224$ ，
∴ 月平均用电量的中位数为 224 ；
（3）月平均用电量为 $[220,240)$ 的用户有 $0.0125 \times 20 \times 100=25$ ，
月平均用电量为 $[240,260)$ 的用户有 $0.0075 \times 20 \times 100=15$ ，
月平均用电量为 $[260,280)$ 的用户有 $0.005 \times 20 \times 100=10$ ，
月平均用电量为 $[280,300)$ 的用户有 $0.0025 \times 20 \times 100=5$ ，
∴ 抽取比例为 $\frac{11}{25+15+10+5}=\frac{1}{5}$ ，
∴ 月平均用电量在 $[220,240)$ 的用户中应抽取 $25 \times \frac{1}{5}=5$ 户
【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．
（13 分）某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：$[20,30),[30,40), \ldots[80,90]$ ，并整理得到如下频率分布直方图：
（I）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率；
（II）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间［ 40 ， 50）内的人数；
（III）已知样本中有一半男生的分数不小于 70 ，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等。试估计总体中男生和女生人数的比例。
（5分）（2010•北京）从某小学随机抽取 100 名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知 $a=$ $\_\_\_\_$ 0.03
－若要从身高在［120，130），［130，140），［140，150］三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动，则从身高在［140，150］内的学生中选取的人数应为 $\_\_\_\_$ 3。
（13 分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元／立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元／立方米收费，从该市
随机调查了 10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：
（1）如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 $80 \%$ 以上居民在该月的用水价格为 4 元／立方米， w 至少定为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 $\mathrm{w}=3$ 时，估计该市居民该月的人均水费．