2013 北京卷 · 文 数学

（5 分）已知集合 $\mathrm{A}=\{-1,0,1\}, \mathrm{B}=\{\mathrm{x} \mid-1 \leqslant \mathrm{x}<1\}$ ，则 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=$（）

（5 分）设 $a, b, c \in R$ ，且 $a>b$ ，则（ ）

（5 分）下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递减的是

（5分）在复平面内，复数 $i(2-i)$ 对应的点位于

（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，$a=3, b=5, \sin A=\frac{1}{3}$ ，则 $\sin B=()$

（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（）

（5 分）双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{m}=1$ 的离心率大于 $\sqrt{2}$ 的充分必要条件是（ ）

（5 分）如图，在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$P$ 为对角线 $B D_{1}$ 的三等分点，$P$到各顶点的距离的不同取值有（）

（5 分）若抛物线 $y^{2}=2 p x$ 的焦点坐标为 $(1,0)$ ，则 $p=$ $\_\_\_\_$ 2 ；准线方程为 $x=-1$ ．

（5 分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为 $\_\_\_\_$ 3 ．

正（主）视图

侧（左）视图

俯视图

（5 分）若等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2}+a_{4}=20, a_{3}+a_{5}=40$ ，则公比 $q=$ $\_\_\_\_$ 2 ；前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=$ $\_\_\_\_$ $2^{\mathrm{n}+1}-2$。

（5 分）设 $D$ 为不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x \geqslant 0 \\ 2 x-y \leqslant 0 \text { 表示的平面区域，区域 } D \text { 上的点与点 } \\ x+y-3 \leqslant 0\end{array}\right. (1,0)$ 之间的距离的最小值为 $-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．

（5 分）已知点 $A(1,-1), B(3,0), C(2,1)$ ．若平面区域 $D$ 由所有满足 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mu \overrightarrow{\mathrm{AC}}(1 \leqslant \lambda \leqslant 2,0 \leqslant \mu \leqslant 1)$ 的点 P 组成，则 D 的面积为 $\_\_\_\_$ 3。

（13分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图。空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染。某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天。

（I）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（II）求此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率；
（III）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，$CD=2AB$，平面
PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：
（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；
（Ⅱ）BE∥平面PAD；
（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．

（13分）已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx．
（Ⅰ）若曲线$y=f$（x）在点（a，f（a） ）处与直线$y=b$相切，求a与b的值；
（Ⅱ）若曲线$y=f$（x）与直线$y=b$有两个不同交点，求b的取值范围．