其他不等式　·　历年高考数学真题与解析

2．不等式 $\frac{x-1}{x-3}<0$ 的解集为 $\_\_\_\_$。

2. 不等式 $\frac { x - 1 } { x - 3 } < 0$ 的解集为

4． 不等式 $\frac{x-4}{x-1} \geqslant 2$ 的解集是

20．实数 $a, b$ 满足 $a+b \geq 3$ ．
（1）证明： $2 a^{2}+2 b^{2}>a+b$ ；
（2）证明：$\left|a-2 b^{2}\right|+\left|b-2 a^{2}\right| \geq 6$ ．

23．已知 $f(x)=2|x|+|x-2|$ ．
（1）求不等式 $f(x) \leq 6-x$ 的解集；
（2）在直角坐标系 $x O y$ 中，求不等式组 $\left\{\begin{array}{l}f(x) \leq y \\ x+y-6 \leq 0\end{array}\right.$ 所确定的平面区域的面积．

23．已知 $f(x)=2|x-a|-a, a>0$ ．
（1）求不等式 $f(x)<x$ 的解集；
（2）若曲线 $y=f(x)$ 与坐标轴所围成的图形的面积为 2 ，求 $a$ ．

23．已知 $f(x)=2|x|+|x-2|$
（1）求不等式 $f(x) \leq 6-\mathrm{x}$ 的解集；
（2）在直角坐标系 $x O y$ 中，求不等式组 $\left\{\begin{array}{l}f(x) \leq y \\ x+y-6 \leq 0\end{array}\right.$ 所确定的平面区域的面积．

3．求不等式 $\frac{x-1}{x}<0$ 的解集为 $\_\_\_\_$

23．已知函数 $f(x)=|x-a|+|x+3|$ ．
（1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x) \geq 6$ 的解集；
（2）若 $f(x)>-a$ ，求 $a$ 的取值范围．

4．不等式 $\frac{2 x+5}{x-2}<1$ 的解集为＿$(-7,2)$ $\_\_\_\_$。
【思路分析】由已知进行转化 $\frac{x+7}{x-2}<0$ ，进行可求．

2．不等式 $\frac{1}{x}>3$ 的解集为 $\_\_\_\_$

23．已知函数 $f(x)=\left|x-a^{2}\right|+|x-2 a+1|$ ．
（1）当 $a=2$ 时，求不等式 $f(x) \ldots 4$ 的解集；
（2）若 $f(x) \ldots 4$ ，求 $a$ 的取值范围．

23．设 $x \in \mathbf{R}$ ，解不等式 $2|x+1|+|x| \leq 4$ ．

【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

23．已知函数 $f(x)=\left|x-a^{2}\right|+|x-2 a+1|$ ．
（1）当 $a=2$ 时，求不等式 $f(x) \ldots 4$ 的解集；
（2）若 $f(x) \ldots 4$ ，求 $a$ 的取值范围．

16．已知 $a \in R$ ，函数 $f(x)=a x^{3}-x$ ，若存在 $t \in R$ ，使得 $|f(t+2)-f(t)| \leq \frac{2}{3}$ ，则实数 $a$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ ．

23．设 $x, y, z \in R$ ，且 $x+y+z=1$ ．
（1）求 $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}+(z+1)^{2}$ 的最小值；

（2）若 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-a)^{2} \geq \frac{1}{3}$ 成立，证明：$a \leqslant-3$ 或 $a \geq-1$ ．

23．［选修4－5：不等式选讲］
已知 $f(x)=|x-a| x+|x-2|(x-a)$ ．
（1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x)<0$ 的解集；
（2）若 $x \in(-\infty, 1)$ 时，$f(x)<0$ ，求 $a$ 的取值范围．

23．［选修4－5：不等式选讲］
已知 $f(x)=|x-a| x+|x-2|(x-a)$ ．
（1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x)<0$ 的解集；
（2）若 $x \in(-\infty, 1)$ 时，$f(x)<0$ ，求 $a$ 的取值范围．

3．不等式 $|x+1|<5$ 的解集为 $\_\_\_\_$

1．不等式 $|x|>1$ 的解集为 $\_\_\_\_$

2．不等式 $|x-1|<3$ 的解集为 $\_\_\_\_$ ；

1．设 $x \in \mathbf{R}$ ，则不等式 $|x-3|<1$ 的解集为 $\_\_\_\_$ ．

1．设 $\mathrm{x} \in R$ ，则不等式 $|x-3|<1$ 的解集为 $\_\_\_\_$。

24．已知函数 $f(x)=|x+1|-|2 x-3|$ ．
（I）在图中画出 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象；
（II）求不等式 $|f(x)|>1$ 的解集。

24．已知函数 $f(x)=|x+1|-|2 x-3|$ ．
（I）在图中画出 $y=f(x)$ 的图象；

（II）求不等式 $|f(x)|>1$ 的解集。

5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入。若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 $12 \%$ ，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 （参考数据： $\lg 1.12 \approx 0.05, \lg 1.3 \approx 0.11, \lg 2 \approx 0.30$ ）

1．设集合 $M=\left\{x \mid x^{2}=x\right\}, ~ N=\{x \mid \lg x \leq 0\}$ ，则 $M \cup N=()$
$A_{\sharp} .[0,1]$
B．$(0,1]$
C．$[0,1)$
D．$(-\infty, 1]$

16．下列不等式中，与不等式 $\frac{x+8}{x^{2}+2 x+3}<2$ 解集相同的是（）。

24．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲
已知关于 $x$ 的不等式 $|x+a|<b$ 的解集为 $\{x \mid 2<x<4\}$ ．
（I）求实数 $a, b$ 的值；
（II）求 $\sqrt{a t+12}+\sqrt{b t}$ 的最大值．

7．（5 分）如图，函数 $f(x)$ 的图象为折线 $A C B$ ，则不等式 $f(x) \geqslant \log _{2}(x+1)$

的解集是

12．在平面直角坐标系中，两点 $P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 间的＂L－距离＂定义为 $\| P_{1} P_{2}\left|=\left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{1}-y_{2}\right|\right.$ ．则平面内与 $x$ 轴上两个不同的定点 $F_{1}, F_{2}$ 的＂L－距离＂之和等于定值。（大于 $\| F_{1} F_{2} \mid$ ）的点的轨迹可以是

A

D

C

D

13．若关于 $x$ 的不等式 $|a x-2|<3$ 的解集为 $\left\{x \left\lvert\,-\frac{5}{3}<x<\frac{1}{3}\right.\right\}$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

24．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲
设函数 $f(x)=2|x-1|+x-1, g(x)=16 x^{2}-8 x+1$ ，记 $f(x) \leq 1$ 的解集为 $M, g(x) \leq 4$ 的解集为 $N$ ．

（I）求 $M$ ；
（II）当 $x \in M \cap N$ 时，证明：$x^{2} f(x)+x[f(x)]^{2} \leq \frac{1}{4}$ ．

3．（5分）不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x(x+2)>0 \\ |x|<1\end{array}\right.$ 的解集为

11．（5分）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}+2 x, x \leqslant 0 \\ \ln (x+1), x>0\end{array}\right.$ ，若 $|f(x)| \geq a x$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

12．（5分）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}+2 x, x \leqslant 0 \\ \ln (x+1), x>0\end{array}\right.$ ，若 $|f(x)| \geq a x$ ，则 $a$ 的取值范围是（ ）

4．（5分）不等式 $\left|x^{2}-2\right|<2$ 的解集是（ ）

（13）若不等式 $|k x-4| \leq 2$ 的解集为 $\{x \mid 1 \leq x \leq 3\}$ ，则实数 $k=$ $\_\_\_\_$

（2）不等式 $\frac{x-1}{x+2}<0$ 的解集是为

9．不等式 $|x+2|-|x| \leq 1$ 的解集为 $\_\_\_\_$ ．

24．设函数 $f(x)=|x-a|+3 x$ ，其中 $a>0$ ．
（I）当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x) \geq 3 x+2$ 的解集
（II）若不等式 $f(x) \leq 0$ 的解集为 $\{x \mid x \leq-1\}$ ，求 $a$ 的值．

13．（5分）不等式 $\sqrt{2 x^{2}+1}-x \leqslant 1$ 的解集是 $\_\_\_\_$ ［0，2］。

13．（5分）不等式 $\frac{x-2}{x^{2}+3 x+2}>0$ 的解集是

$\{x \mid-2<x<-1$, 或 $x>2\}$ ．

2．（5分）不等式 $\frac{x-3}{x+2}<0$ 的解集为（ ）

1．对于实数 $a, b, c$ ，＂$a>b$＂是＂$a c^{2}>b c^{2}$＂的

3．不等式 $\left|\frac{x-2}{x}\right|>\frac{x-2}{x}$
的解集是

5．不等式 $|x-2|>x-2$ 的解集是

5．（5分）不等式 $\frac{x^{2}-x-6}{x-1}>0$ 的解集为（ ）

（9）设集合 $\mathrm{A}=\{x| | x-a \mid<1, x \in R\}, B=\{x| | x-b \mid>2, x \in R\}$ 。若 $\mathrm{A} \subseteq \mathrm{B}$ ，则实数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 必满

足

15．若不等式 $\sqrt{4-x^{2}} \leq k(x+1)$ 的解集为区间 $[a, b]$ ，且 $b-a=1$ ，则 $k=$ $\_\_\_\_$。

3．（5分）不等式 $\left|\frac{x+1}{x-1}\right|<1$ 的解集为

3．（5分）不等式 $\left|\frac{x+1}{x-1}\right|<1$ 的解集为

（10）不等式 $\frac{x-1}{x+2}>1$ 的解集是 $\_\_\_\_$ ．

14．不等式 $2^{x-\frac{3}{x}+1} \leqslant \frac{1}{2}$ 的解集为 $\_\_\_\_$ ．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数 $f(x)=|x-8|-|x-4|$ ．
（I）作出函数 $y=f(x)$ 的图像；
（II）解不等式 $|x-8|-|x-4|>2$ ．

7．不等式 $\frac{x+5}{(x-1)^{2}} \geqslant 2$ 的解集是（ ）