2012 地方卷 · 文 数学

设集合 $M=\{-1,0,1\}, N=\left\{x \mid x^{2}=x\right\}$ ，则 $M$ Ç $N=$

复数 $z=i(i+1)$（ $i$ 为虚数单位）的共轭复数是

命题＂若 $\alpha=\frac{\pi}{4}$ ，则 $\tan \alpha=1$＂的逆否命题是

某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是

A

B

C

D

圈1

设某大学的女生体重 $y$（单位：$k g$ ）与身高 $x$（单位：$c m$ ）具有线性相关关系，根据一组样本数据 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \cdots, n)$ ，用最小二乘法建立的回归方程为 $\hat{y}=0.85 x-85.71$ ，则下列结论不正确的是

已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的焦距为 10 ，点 $P(2,1)$ 在的渐近线上，则 $C$ 的方程为（

设 $a>b>1, c<0$ ，给出下列三个结论：
①$\frac{c}{a}>\frac{c}{b}$ ；②$a^{c}<b f$ ；③ $\log _{b}(a-c)>\log _{a}(b-c)$ ．

其中所有的正确结论的序号是（ ）

在 $\mathrm{D} A B C$ 中，$A C=\sqrt{7}, B C=2, B=60^{\circ}$ ，则 $B C$ 边上的高等于（ ）

设定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 是最小正周期为 2 p 的偶函数，$f(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数，当 $x \in[0, \pi]$ 时， $0<f(x)<1$ ；当 $x \in(0, \pi)$ 且 $x \neq \frac{\pi}{2}$ 时，$\left(x-\frac{\pi}{2}\right) f^{\prime}(x)>0$ ．则函数 $y=f(x)-\sin x$ 在 $[-2 \pi, 2 \pi]$ 上的零点个数为（ ）

在极坐标系中，曲线 $C_{1}: \rho(\sqrt{2} \cos \theta+\sin \theta)=1$ 与曲线 $C_{2}: \rho=a(a>0)$ 的一个交点在极轴上，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为
$29^{\circ} \mathrm{C}$ ： $63^{\circ} \mathrm{C}$ ，精确度要求 $\pm 1^{\circ} \mathrm{C}$ ．用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为 $\_\_\_\_$ ．

不等式 $x^{2}-5 x+6 £ 0$ 的解集为 $\_\_\_\_$。

图 2 是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 $\_\_\_\_$。
（注：方差 $s^{2}=\frac{1}{n}\left[\left(x_{1}-\bar{x}\right)^{2}+\left(x_{2}-\bar{x}\right)^{2}+\mathrm{L}+\left(x_{n}-\bar{x}\right)^{2}\right]$ ，

其中 $\bar{X}$ 为 $X_{1}, X_{2}, \mathrm{~L}, X_{n}$ 的平均数）

图2

如果执行如图 3 所示的程序框图，输入 $x=4.5$ ，则输出的数 $i=$ $\_\_\_\_$ ．

園3

如图 4，在平行四边形 $A B C D$ 中，$A P^{\wedge} B D$ ，垂足为 $P$ ，且 $A P=3$ ，则
$\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A C}=$ $\_\_\_\_$ ．

图4

对于 $n \hat{i} \mathrm{~N}^{*}$ ，将 $n$ 表示为 $n=a_{k}^{\prime} 2^{k}+a_{k-1}^{\prime} 2^{k-1}+\mathrm{L}+a_{1}^{\prime} 2^{1}+a_{0}^{\prime} 2^{0}$ ，当 $i=k$ 时，$a_{i}=1$ ，当 $0 £ i £ k-1$ 时，$a_{i}$ 为 0 或 1 ．定义 $b_{n}$ 如下：在 $n$ 的上述表示中，当 $a_{0}, a_{1}, a_{2} \mathrm{~L}, a_{k}$ 中等于 1 的个数为奇数时，$b_{n}=1$ ；否则 $b_{n}=0$ ．
①$b_{2}+b_{4}+b_{6}+b_{8}=$ $\_\_\_\_$ ；
（2）记 $c_{m}$ 为数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 中第 $m$ 个为 0 的项与第 $m+1$ 个为 0 的项之间的项数，则 $c_{m}$ 的最大值是 $\_\_\_\_$。

（本小题满分 13 分）在直角坐标系 $x O y$ 中，已知中心在原点，离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆 $E$
的一个焦点为圆 $C: x^{2}+y^{2}-4 x+2=0$ 的圆心．
（1）求椭圆 $\boldsymbol{E}$ 的方程；
②设 $P$ 是椭圆 $E$ 上一点，过 $P$ 作两条斜率之积为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $I_{1}, I_{2}$ 。当直线 $I_{1}, I_{2}$ 都与圆 $C$ 相切时，求 $P$ 的坐标．

（本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=e^{x}-a x$ ，其中 $a>0$ ．
（I）若对一切 $x \in R, f(x) \geq 1$ 恒成立，求 $\boldsymbol{a}$ 的取值集合；
（II）在函数 $f(x)$ 的图象上取定两点 $A\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right), B\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)\left(x_{1}<x_{2}\right)$ ，记直线 $A B$ 的斜率为 $k$ ，证明：存在 $x_{0} \in\left(x_{1}, x_{2}\right)$ ，使 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=k$ 成立．