复数 $z=i \bullet(1+i)(i$ 为虚数单位 $)$ 在复平面上对应的点位于
考点：复数代数形式的四则运算易错：符号错误
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B
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2013 地方卷 · 理 数学
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Questions
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某学校有男、女学生各 500 名。为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是
考点：随机抽样易错：审题不清
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D
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这题的学习线索
在锐角中 $\triangle A B C$，角 $A, B$ 所对的边长分别为 $a, b$。若 $2 a \sin B=\sqrt{3} b$，则角 $A$ 等于
考点：正弦定理考法：化归与转化
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D
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这题的学习线索
若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}y \leq 2 x \\ x+y \leq 1 \\ y \geq-1\end{array}\right.$ 则 $x+2 y$ 的最大值是
考点：线性规划考法：数形结合易错：端点遗漏
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C
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这题的学习线索
函数 $f(x)=2 \ln x$ 的图像与函数 $g(x)=x^{2}-4 x+5$ 的图像的交点个数为
考点：函数的图象考法：数形结合
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B
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这题的学习线索
已知 $a, b$ 是单位向量，$a \cdot b=0$．若向量 $c$ 满足 $|c-a-b|=1$，则 $|c|$ 的取值范围是
考点：平面向量的数量积考法：数形结合
Answer key
A
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这题的学习线索
已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于
考点：空间几何体的三视图和直观图
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C
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这题的学习线索
这题考什么空间几何体的三视图和直观图
在等腰三角形 $A B C$ 中，$A B=A C=4$，点 $P$ 是边 $A B$ 上异于 $A, B$ 的一点，光线从点 $P$ 出发，经 $B C, C A$ 发射后又回到原点 $P$（如图1）。若光线 $Q R$ 经过 $\triangle A B C$ 的中心，则 $A P$ 等于
Answer key
D
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在平面直角坐标系 $x o y$ 中，若 $l:\left\{\begin{array}{l}x=t, \\ y=t-a\end{array}\right.$（ t 为参数）过椭圆 $\mathrm{C}:\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \varphi, \\ y=2 \sin \varphi\end{array}\right.$
（ $\varphi$ 为参数）的右顶点，则常数 $a$ 的值为 $\_\_\_\_$．
先写答案，再对照解析等价写法不自动判错
Answer key
3
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已知 $a, b, c \in, a+2 b+3 c=6$，则 $a^{2}+4 b^{2}+9 c^{2}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$．
考点：基本不等式考法：化归与转化易错：等号成立条件
先写答案，再对照解析等价写法不自动判错
Answer key
12
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这题的学习线索
若 $\int_{0}^{T} x^{2} d x=9$，则常数 $T$ 的值为 $\_\_\_\_$．
考点：函数与导数
先写答案，再对照解析等价写法不自动判错
Answer key
3
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这题的学习线索
这题考什么函数与导数
执行如图 3 所示的程序框图，如果输入 $a=1, b=2$，则输出的 $a$ 的值为 $\_\_\_\_$．
图3
先写答案，再对照解析等价写法不自动判错
Answer key
9
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设 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两个焦点， P 是 C 上一点，若 $|P F|_{1}+\left|P F_{2}\right|=6 a$，且 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 的最小内角为 $30^{\circ}$，则 C 的离心率为 $\_\_\_\_$。
考点：双曲线考法：数形结合易错：分类不全
先写答案，再对照解析等价写法不自动判错
Answer key
$\sqrt{3}$
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这题的学习线索
设 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和，$S_{n}=(-1)^{n} a_{n}-\frac{1}{2^{n}}, n \in N^{*}$，则
①$a_{3}=$ $\_\_\_\_$；
②$S_{1}+S_{2}+\cdots+S_{100}=$ $\_\_\_\_$。
考点：数列的概念与简单表示法考法：化归与转化易错：数列下标错位
先写答案，再对照解析等价写法不自动判错
Answer key
$-\frac{1}{16} ; \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2^{100}}-1\right)$．
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这题的学习线索
（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right) \cdot g(x)=2 \sin ^{2} \frac{x}{2}$。
（I）若 $\alpha$ 是第一象限角，且 $f(\alpha)=\frac{3 \sqrt{3}}{5}$。求 $g(\alpha)$ 的值；
（II）求使 $f(x) \geq g(x)$ 成立的 x 的取值集合。
Answer key
(1) $f(\alpha)=\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)+\cos \left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha-\frac{1}{2} \cos \alpha+\frac{1}{2} \cos \alpha+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha=\frac{3 \sqrt{3}}{5}$，所以 $\sin \alpha=\frac{3}{5}$，因为 $\alpha$ 是第一象限角，所以 $g(\alpha)=1-\cos \alpha=\frac{1}{5}$; (2) $f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3} \sin x, g(x)=2 \sin ^{2} \frac{x}{2}=1-\cos x$；因为 $f(x) \geq g(x)$，所以 $\sqrt{3} \sin x \geq 1-\cos x$，化简得 $\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \geq \frac{1}{2}$，所以 $\frac{\pi}{6}+2 k \pi \leq x+\frac{\pi}{6} \leq \frac{5 \pi}{6}+2 k \pi, k \in Z$，解得 x 的取值集合为 $\left\{x \left\lvert\, 2 k \pi \leq x \leq \frac{2 \pi}{3}+2 k \pi\right., k \in Z\right\}$．
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（本小题满分 12 分）
如图5，在直棱柱
$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A D / / B C, \angle B A D=90^{\circ}, A C \perp B D, B C=1, A D=A A_{1}=3$．
（I）证明：$A C \perp B_{1} D$；
（II）求直线 $B_{1} C_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的正弦值。
图5
考点：Line-Plane Angle考法：向量法易错：空间坐标系建系出错
Answer key
(1) 因为 $B_{1} B \perp$ 平面 $A B C D$，所以 $B D$ 为 $B_{1} D$ 在平面 $A B C D$ 内的投影；因为 $A C \perp B D$，由三垂线定理可知 $A C \perp B_{1} D$; (2) 以 A 为原点， AB 所在边为 x 轴， AD 所在边为 y 轴， AA 1 所在边为 z 轴建立空间直角坐标系，则 $A(0,0,0), C(m, 1,0), D_{1}(0,3,3)$，所以 $\overrightarrow{A D_{1}}=(0,3,3), \overrightarrow{A C}=(m, 1,0)$
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（本小题满分 13 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路径成为 M 到 N 的一条＂L 路径＂。如图 6 所示的路径 $M M_{1} M_{2} M_{3} N$ 与路径 $M N_{1} N$ 都是 M 到 N 的＂L 路径＂。某地有三个新建的居民区，分别位于平面 xOy 内三点 $A(3,20), B(-10,0), C(14,0)$ 处。现计划在 x 轴上方区域 （包含 x 轴）内的某一点 P 处修建一个文化中心。
图6
（I）写出点 P 到居民区 A 的＂L 路径＂长度最小值的表达式（不要求证明）；
（II）若以原点 O 为圆心，半径为 1 的圆的内部是保护区，＂L 路径＂不能进入保护区，请确定点 P 的位置，使其到三个居民区的＂ L 路径＂长度值和最小。
Answer key
(1) 点 P 到居民区 A 的＂ L 路径＂长度最小值为 $|x-3|+|y-20|, x \in R, y \in[0,+\infty)$．; (2) 依题意，点 P 到三个居民区的＂ L 路径＂长度之和的最小值为点 P 分别到三个居民区的＂ L 路径＂长度之和（记为 d）的最小值； 1、当 $y \geq 1$ 时，$d=|x+10|+|x-14|+2|y|+|y-20|$，因为 $d_{1}(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3| \geq|x+10|+|x-14|$ 当且仅当 $x=3$ 时等号成立； 又因为 $|x+10|+|x-14| \geq 24$，当且仅当 $x \in[-10,14]$ 时等号成立
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（本小题满分 13 分）
过拖物线 $E: x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点 F 作斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ 的两条不同的直线 $l_{1}, l_{2}$，且 $k_{1}+k_{2}=2, l_{1}$ 与 $E$ 相交于点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, l_{2}$ 与 $E$ 相交于点 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$。以 $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ 为直径的圆 M，圆 N （ $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 为圆心）的公共弦所在的直线记为 $l$。
（I）若 $k_{1}>0, k_{2}>0$，证明； $\overrightarrow{F M} \cdot \overrightarrow{F N}<2 P^{2}$；
（II）若点 M 到直线 $l$ 的距离的最小值为 $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$，求抛物线 E 的方程。
Answer key
(1) 依题意，拖物线 E 的交点为 $F\left(0, \frac{p}{2}\right)$，直线 $l_{1}$ 的方程为 $y=k_{1} x+\frac{p}{2}$，由 $\left\{\begin{array}{l}y=k_{1} x+\frac{p}{2} \\ x^{2}=2 p y\end{array}\right.$ 得 $x^{2}-2 p k_{1} x-p^{2}=0$，设 $\mathrm{A}, \mathrm{~B}$ 两点的坐标分别为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$，则 $x_{1}, x_{2}$ 是 上述方程的两个实数根，从而 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=2 p k_{1} \\ y_{1}+y_{2}=k\left(x_{1}+x_{2}\right)=2 p k_{1}^{2}+p\end{array}\right.$，所以点 M 的坐标为 $\left(p k_{1}, p k_{1}^{2}+\frac{p}{2}\right), ~ \overline{F M}=\left(p k_{1}, p k_{1}^{2}\right)$，同理可得 $N$ 的坐标为 $\left(p k_{2}, p k_{2}^{2}+\frac{p}{2}\right), ~ \overline{F N}=\left(p k_{2}, p k_{2}^{2}\right)$，于是 $\overrightarrow{F M} \cdot \overrightarrow{F N}=p^{2}\left(k_{1} k_{2}+k_{1}^{2} k_{2}^{2}\right)$，由题设，$k_{1}+k_{2}=2, k_{1}>0, k_{2}>0, k_{1} \neq k_{2}$，所以 $0<k_{1} k_{2}<\frac{\left(k_{1}+k_{2}\right)^{2}}{2}=1$，故 $\overrightarrow{F M} \cdot \overrightarrow{F N}<p^{2}\left(1+1^{2}\right)=2 p^{2}$; (2) 由抛物线的定义得 $|F A|=y_{1}+\frac{p}{2},|F B|=y_{2}+\frac{p}{2}$，所以 $|A B|=y_{1}+y_{2}+p=2 p k_{1}^{2}+2 p$，从而圆 M 的半径 $r_{1}=p k_{1}^{2}+p$，圆 M 的方程为 $\left(x-p k_{1}\right)^{2}+\left(y-p k_{1}^{2}-\frac{p}{2}\right)^{2}=\left(p k_{1}^{2}+p\right)^{2}$，化简得 $x^{2}+y^{2}-2 p k_{1} x-p\left(2 k_{1}^{2}+1\right) y-\frac{3}{4} p^{2}=0$，同理可得圆 N 的方程为 $x^{2}+y^{2}-2 p k_{2} x-p\left(2 k_{2}^{2}+1\right) y-\frac{3}{4} p^{2}=0$，于是圆 M 与圆 N 的公共弦所在直线 $l$ 的方程为 $\left(k_{2}-k_{1}\right) x+\left(k_{2}^{2}-k_{1}^{2}\right) y=0$，又 $k_{2}-k_{1} \neq 0, k_{1}+k_{2}=2$，则直线 $l$ 的方程为 $x+2 y=0$，因为 $p>0$，所以点 M 到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{\left|2 p k_{1}^{2}+p k_{1}+p\right|}{\sqrt{5}}=\frac{p \geq\left[2\left(k_{1}+\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{7}{8}\right]}{\sqrt{5}}$，故当 $k_{1}=-\frac{1}{4}$ 时，$d$ 取最小值 $\frac{7 p}{8 \sqrt{5}}$。由题设，$\frac{7 p}{8 \sqrt{5}}=\frac{7 \sqrt{5}}{5}$，所以 $p=8$，故所求抛物线 E 的方程为 $x^{2}=16 y$
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（本小题满分 13 分）
已知 $a>0$, 函数 $f(x)=\left|\frac{x-a}{x+2 a}\right|$。
（I）；记 $f(x)$ 在 区间 $[0,4]$ 上的最大值为 $\mathrm{g}(a)$，求 $\mathrm{g}(a)$ 的表达式；
（II）是否存在 $a$，使函数 $y=f(x)$ 在区间 $(0,4)$ 内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由。
Answer key
(1) 当 $0 \leq x \leq a$ 时，$f(x)=\frac{a-x}{x+2 a}$；当 $x>a$ 时，$f(x)=\frac{x-a}{x+2 a}$． 因此，当 $x \in(0, a)$ 时，$f^{\prime}(x)=\frac{-3 a}{(x+2 a)^{2}}<0$，所以 $f(x)$ 在 $(0, a)$ 上单调迷减；当 $x \in(a,+\infty)$ 时，$f^{\prime}(x)=\frac{3 a}{(x+2 a)^{2}}>0$，所以 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上单调递增； 1、若 $a \geq 4$，则 $f(x)$ 在 $(0,4)$ 上单调䢗减，$g(a)=f(0)=\frac{1}{2}$； 2、若 $0<a<4$，则 $f(x)$ 在 $(0, a)$ 上单调遇减，在 $(a, 4)$ 上单调递增，所以 $g(a)=\max \{f(0), f(4)\}$，从而 $f(0)-f(4)=\frac{a-1}{2+a}$；当 $0<a \leq 1$ 时，$g(a)=f(4)=\frac{4-a}{4+2 a}$； 当 $1<a<4$ 时，$g(a)=g(0)=\frac{1}{2}$，综上所诉，$g(a)=\left\{\begin{array}{l}\frac{4-a}{4+2 a}, 0<a \leq 1 \\ \frac{1}{2}, a>1\end{array}\right.$; (2) 由①知，当 $a \geq 4$ 时，$f(x)$ 在 $(0,4)$ 上单调速减，故不满足要求；当 $0<a<4$ 时，$f(x)$ 在 $(0, a)$ 上单调迷减，在 $(a, 4)$ 上单调迷增．若存在 $x_{1}, x_{2} \in(0,4)\left(x_{1}<x_{2}\right)$，使曲线 $f(x)$ 在 $\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)$ 两点处的切线相互垂直，则 $x_{1} \in(0, a), x_{2} \in(a, 4)$，且 $f^{\prime}\left(x_{1}\right) \cdot f^{\prime}\left(x_{2}\right)=-1$，即 $\frac{-3 a}{\left(x_{1}+2 a\right)^{2}} \cdot \frac{-3 a}{\left(x_{2}+2 a\right)^{2}}=-1$，亦即 $x_{1}+2 a=\frac{3 a}{x_{2}+2 a}$：由 $x_{1} \in(0, a), x_{2} \in(a, 4)$ 得 $x_{1}+2 a \in(2 a, 3 a), \frac{3 a}{x_{2}+2 a} \in\left(\frac{3 a}{x_{2}+4}, 1\right)$，故＊成立等价于集合 $A=\{x \mid 2 a<x<3 a\}$ 与集合 $B=\left\{x \left\lvert\, \frac{3 a}{x_{2}+4}<x<1\right.\right\}$ 的交集非空：因为 $\frac{3 a}{4+2 a}<3 a$，所以当且仅当 $0<2 a<1$，即 $0<a<\frac{1}{2}$ 时， $A \cap B=\varnothing$，综上所诉 a 的取值范围是 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$
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本卷概览这张卷怎么考查看完整卷面分析
难度结构
中档题为主
重点考点
函数与导数 · 函数的图象 · 双曲线 · 基本不等式
高频考法
数形结合 · 化归与转化 · 向量法
题型结构
单选 8 · 填空 6 · 解答 5
难度分布
中档 19
课本覆盖
人教A版·必修第二册 6 · 人教A版·选择性必修第二册 2 · 人教A版·选择性必修第一册 2 · 人教A版·必修第一册 1 · 人教A版·选择性必修第三册 1
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