2017 北京卷 数学

（5分）已知全集U=R，集合 $A = \{ x \vert x < - 2$ 或 $x > 2 3$ ，则 $\complement _ { \cup } \mathsf { A } =$ （　　）

（5 分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是（　　）A $( \mathbf { \partial } - \infty , \mathbf { \partial } 1 )$ B $\big ( \begin{array} { l } { - \infty , } & - \ : 1 \big ) \end{array}$ C $( 1 , \ + \infty )$ D $( \mathbf { \partial } - 1 , \mathbf { \partial } + \infty )$

（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）

A．2 B $\frac { 3 } { 2 }$ C $\frac { 5 } { 3 }$ D $\frac { 8 } { 5 }$

（5分）已知函数 ${ \textbf { \textsf { f } } } ( { \textbf { \textsf { x } } } ) = 3 ^ { \times } - ( \frac { 1 } { 3 } ) ^ { \times }$ ，则f（x）（　　）

（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）

正（主）视图

侧（左）视图

俯视图

（5 分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 $M$ 约为 $3^{361}$，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 $N$ 约为 $10^{80}$，则下列各数中与 $\dfrac{M}{N}$ 最接近的是（　　）
（参考数据：$\lg 3 \approx 0.48$）

（5 分）已知点 P 在圆 $\mathsf { x } ^ { 2 } { + } \mathsf { y } ^ { 2 } { = } 1$ 上，点 A 的坐标为（﹣2，0），O 为原点，则$\overrightarrow { \mathtt { A } \hat { \mathsf { D } } \bullet \overrightarrow { \mathtt { A } \bar { \mathtt { P } } } }$ 的最大值为　6

（5分）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：

（i）男学生人数多于女学生人数；

（ii）女学生人数多于教师人数；

（iii）教师人数的两倍多于男学生人数

①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为　6

②该小组人数的最小值为　12

（13分）已知等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 和等比数列 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 满足 $a _ { 1 } = b _ { 1 } = 1 , ~ \mathsf { a } _ { 2 } + \mathsf { a } _ { 4 } = 1 0 , ~ \mathsf { b } _ { 2 } \mathsf { b } _ { 4 } = \mathsf { a } _ { 5 }$ （Ⅰ）求 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项公式；
（Ⅱ）求和： $\mathsf { b } _ { 1 } { + } \mathsf { b } _ { 3 } { + } \mathsf { b } _ { 5 } { + } . . . ^ { + } \mathsf { b } _ { 2 \mathsf { n } - 1 }$

（13分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：

（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

（Ⅱ）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；

（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例

（14 分）如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，$PA=AB=BC=2$，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点

（1）求证：PA⊥BD；

（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；

（3）当PA∥平面BDE 时，求三棱锥E﹣BCD的体积【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直

（14 分）已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A（﹣2，0），B（2，0），焦点在 x轴上，离心率为 $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M，N，过D 作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN 的面积之比为4：5