2018 天津卷 数学

设全集为R，集合 $A = \{ x | 0 < x < 2 \}$ $B = \{ x | x \geq 1 \}$ ，则 $A \cap ( C _ { R } B ) =$

(2)设变量$x$，$y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 5,\\2x-y\leq 4,\\-x+y\leq 1,\\y\geq 0,\end{cases}$ 则目标函数 $z=3x+5y$ 的最大值为

阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

设 $x \in \mathbf { R }$ ，则 $x - \frac { 1 } { 2 } < \frac { 1 } { 2 }$ ”是 $\cdots x ^ { 3 } < 1 ^ { , }$ 的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

已知 $a = \log _ { 2 } \mathtt { e }$ ， $b = \ln 2$ $c = \log _ { { \frac { 1 } { 2 } } } { \frac { 1 } { 3 } }$ ，则a，b，c的大小关系为(A) $a > b > c$ (B) $b > a > c$ (C) $c > b > a$ (D) $c > a > b$

已知双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两 点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为 $d _ { \mathrm { 1 } }$ 和 $d _ { 2 }$ ，且 $d _ { 1 } + d _ { 2 } = 6$ ，则双曲线的方程为

i是虚数单位，复数 ${ \frac { 6 + 7 \mathrm { i } } { 1 + 2 \mathrm { i } } } =$

在$(x-\dfrac{1}{2\sqrt{x}})^5$的展开式中，$x^2$的系数为______.

已知圆 $x^2 + y^2 - 2x = 0$ 的圆心为 $C$，直线 $\begin{cases} x = -1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}t, \\ y = 3 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}t \end{cases}$ ($t$ 为参数) 与该圆相交于 $A$，$B$ 两点，则 $\triangle ABC$ 的面积为____.

已知 $a , b \in \mathbf { R }$ ，且 $a - 3 b + 6 = 0$ ，则 $2 ^ { a } + \frac { 1 } { 8 ^ { b } }$ 的最小值为

已知 $a > 0$，函数 $f(x) = \begin{cases} x^2 + 2ax + a, & x \le 0, \\ -x^2 + 2ax - 2a, & x > 0. \end{cases}$ 若关于 $x$ 的方程 $f(x) = ax$ 恰有2个互异的实数解，则 $a$ 的取值范围是______.

（本小题满分13分）

在 $\triangle A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 $b \sin A = a \cos ( B - \frac { \pi } { 6 } )$

（I）求角B的大小;

（II）设 $\scriptstyle a = 2 , \ c = 3$ ，求b和sin(2 )A B- 的值.

(本小题满分13分)

如图， AD BC∥ 且AD=2BC， AD CD^ ,EG AD∥ 且EG=AD，CD FG∥ 且CD=2FG，

DG ABCD^ 平面 ，DA=DC=DG=2.

（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN CDE∥平面 ；

（II）求二面角E BC F- - 的正弦值；

（III）若点P在线段DG上，且直线 $B P ^ { \perp }$ 与平面ADGE所成的角为 $1 6 0 ^ { \circ }$ ，求线段DP的长.

(本小题满分13分)

设 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是等比数列，公比大于0，其前n项和为 $S _ { n } ( n \in \mathbf { N } ^ { * } )$ $\left\{ b _ { n } \right\}$ 是等差数列. 已知 $a _ { \scriptscriptstyle 1 } = 1$

$$ a _ { 3 } = a _ { 2 } + 2 ~ , ~ a _ { 4 } = b _ { 3 } + b _ { 5 } ~ , ~ a _ { 5 } = b _ { 4 } + 2 b _ { 6 } . $$

（I）求 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 和 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 的通项公式；

（II）设数列 $\{ S _ { n } \}$ 的前n项和为 $T _ { n } ( n \in \mathbf { N } ^ { * } )$

（i）求 $T _ { n }$ ；

（ii）证明 $\sum _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { ( T _ { k } + b _ { k + 2 } ) b _ { k } } { ( k + 1 ) ( k + 2 ) } } { = } { \frac { 2 ^ { n + 2 } } { n + 2 } } - 2 ( n \in \mathbf { N } ^ { * } )$