2019 新课标 I 卷 数学

设 $z = \frac { 3 - \mathrm { i } } { 1 + 2 \mathrm { i } }$ ，则 $\left. z \right. =$

已知集合 $U = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 \right\}$ $A = \{ 2 , 3 , 4 , 5 \}$ $B = \{ 2 , 3 , 6 , 7 \}$ ，则 $B \cap \mathbf { C } _ { U } A$

已知 $a = \log_2 0.2, b = 2^{0.2}, c = 0.2^{0.3}$，则

古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 $\frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 }$ $( { \frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 } } \approx 0 . 6 1 8$ ，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 $\frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 }$ ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是

某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1

000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是

$\tan255^\circ =$

已知非零向量a，b满足 ${ \big | } a { \big | } = 2 { \big | } b { \big | }$ ，且 $( a - b ) \perp b$ ，则a与b的夹角为

如图是求 $\frac { 1 } { 2 + \displaystyle \frac { 1 } { 2 + \displaystyle \frac { 1 } { 2 } } }$ 的程序框图，图中空白框中应填入

双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的一条渐近线的倾斜角为 $1 3 0 ^ { \circ }$ ，则C的离心率为

$\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\scriptstyle 1 a \sin A - b \sin B = 4 c \sin C$ $\mathrm { c o s } { \cal A } = - \frac { 1 } { 4 }$ 则 $\frac { b } { c } =$

曲线 $y = 3 ( x ^ { 2 } + x ) \mathrm { e } ^ { x }$ 在点(0,0)处的切线方程为

记 $S _ { n }$ 为等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和.若 $a _ { 1 } = 1 , S _ { 3 } = \frac { 3 } { 4 }$ ，则 $S _ { 4 } { = }$

函数 $f ( x ) = \sin ( 2 x + \frac { 3 \pi } { 2 } ) - 3 \cos x$ 的最小值为

某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1>满意</td><td rowspan=1 colspan=1>不满意</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>男顾客</td><td rowspan=1 colspan=1>40</td><td rowspan=1 colspan=1>10</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>女顾客</td><td rowspan=1 colspan=1>30</td><td rowspan=1 colspan=1>20</td></tr></table>

（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

附： $K ^ { 2 } = { \frac { n ( a d - b c ) ^ { 2 } } { ( a + b ) ( c + d ) ( a + c ) ( b + d ) } }$

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>P（K2≥k)</td><td rowspan=1 colspan=1>0.050</td><td rowspan=1 colspan=1>0.010</td><td rowspan=1 colspan=1>0.001</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>k</td><td rowspan=1 colspan=1>3.841</td><td rowspan=1 colspan=1>6.635</td><td rowspan=1 colspan=1>10.828</td></tr></table>

[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle x = \frac { 1 - t ^ { 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } , } \\ { \displaystyle y = \frac { 4 t } { 1 + t ^ { 2 } } } \end{array} \right.$ （t为参数），以坐标原点O为

极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为

$$ 2 \rho \cos \theta + \sqrt { 3 } \rho \sin \theta + 1 1 = 0 . $$

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值

[选修4-5：不等式选讲]

已知a，b，c为正数，且满足 $a b c { = } 1$ ．证明：

① $\frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } + \frac { 1 } { c } \leq a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 }$

② $( a + b ) ^ { 3 } + ( b + c ) ^ { 3 } + ( c + a ) ^ { 3 } \geq 2 4$