2022 新课标 I 卷 数学（新高考一卷）

若集合 $M = \{ x \vert \sqrt { x } < 4 \}$ ， $N = \{ x \vert 3 x \ge 1 \}$ ，则 $M \cap N = { \mathrm { ~ ( ~ ) ~ } }$

若 $\mathrm { i } ( 1 - z ) = 1$ ，则 z z+ = （ ）

在 $\triangle A B C$ 中，点 D 在边 AB 上， $B D = 2 D A$ ．记 $\overrightarrow { C A } = \overrightarrow { m } , \overrightarrow { C D } = \overrightarrow { n }$ ，则 $\overrightarrow { C B } = \mathrm { ~ ( ~ ~ { ~ \mathbf ~ { ~ \theta ~ } ~ } ~ ) ~ }$

南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m． 时，相应水面的面积为 $1 4 0 . 0 \mathrm { k m } ^ { 2 }$ ；水位为海拔1575m． 时，相应水面的面积为 $1 8 0 . 0 \mathrm { k m } ^ { 2 }$ ，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m． 上升到1575m． 时，增加的水量约为 $( \sqrt { 7 } \approx 2 . 6 5 \ )$ （ ）

从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）

记函数 $f ( x ) = \sin \left( \omega x + \frac { \pi } { 4 } \right) + b ( \omega > 0 )$ 的最小正周期为T．若 $\frac { 2 \pi } { 3 } < T < \pi$ ，且$y = f ( x )$ 的图象关于点 $\left( { \frac { 3 \pi } { 2 } } , 2 \right)$ 中心对称，则 $f \left( { \frac { \pi } { 2 } } \right) =$ （ ）

设 $a = 0 . 1 \mathrm { e } ^ { 0 . 1 } , b = \frac { 1 } { 9 }$ $c = - \ln 0 . 9$ ，则（ ）

已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36p，且$3 \leq l \leq 3 \sqrt { 3 }$ ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）

已知正方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ ，则（ ）

已知函数 $f ( x ) = x ^ { 3 } - x + 1$ ，则（ ）

已知O 为坐标原点，点A(1,1)在抛物线 $C : x ^ { 2 } = 2 p y ( p > 0 )$ 上，过点 $B ( 0 , - 1 )$ 的直线交C于P，Q 两点，则（ ）

已知函数f x( ) 及其导函数 ( )^¢ f x 的定义域均为R ，记 $g ( x ) = f ^ { \prime } ( x )$ ，若 $f { \left( { \frac { 3 } { 2 } } - 2 x \right) }$ $g ( 2 + x )$ 均为偶函数，则（ ）

${ \Bigg ( } 1 - { \frac { y } { x } } { \Bigg ) } ( x + y ) ^ { 8 }$ 的展开式中 $x ^ { 2 } y ^ { 6 }$ 的系数为 （用数字作答）

写出与圆 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ 和 $( x - 3 ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } = 1 6$ 都相切的一条直线的方程

若曲线 $y = ( x + a ) \mathbf { e } ^ { x }$ 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是

已知椭圆 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ ，C的上顶点为A，两个焦点为 $F _ { 1 } , \ F _ { 2 }$ ，离心率为 $\frac { 1 } { 2 }$ ．过 $F _ { 1 }$ 且垂直于 $A F _ { 2 }$ 的直线与C交于D，E两点， $\mid D E \mid = 6$ ，则 $\triangle A D E$ 的周长是

记 $S _ { n }$ 为数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和，已知 $a _ { 1 } = 1 , \left\{ { \frac { S _ { n } } { a _ { n } } } \right\}$ 是公差为 $\frac 1 3$ 的等差数列

（1）求 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项公式；

（2）证明： $\frac { 1 } { a _ { 1 } } + \frac { 1 } { a _ { 2 } } + \cdots + \frac { 1 } { a _ { n } } < 2$

记 $\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ${ \frac { \cos A } { 1 + \sin A } } = { \frac { \sin 2 B } { 1 + \cos 2 B } }$

（1）若 $C = \frac { 2 \pi } { 3 }$ ，求 $B ;$

（2）求 ${ \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } }$ 的最小值

【答案 $\textbf { \textit { I } } ( 1 ) \mathbf { \beta } \frac { \pi } { 6 }$ ；

（2） $4 \sqrt { 2 } - 5$

如图，直三棱柱 $A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 的体积为4， $\triangle A _ { | } B C$ 的面积为 $2 \sqrt { 2 }$

（1）求A到平面 $A _ { 1 } B C$ 的距离；

（2）设D 为 $A _ { 1 } C$ 的中点， $A A _ { 1 } = A B$ ，平面 $A _ { 1 } B C \perp$ 平面 $A B B _ { 1 } A _ { 1 }$ ，求二面角$A - B D - C$ 的正弦值