复数代数形式的四则运算　·　历年高考数学真题与解析

10.已知 i 是虚数单位,则 $( 3 + i ) ^ { 2 } =$

10. 已知i是虚数单位，则 $\left| { \frac { 3 + i } { i } } \right| =$

10． 已知 i 是虚数单位，则 $\left|\frac{3+\mathrm{i}}{\mathrm{i}}\right|=$ $\_\_\_\_$．

2．已知复数 $z$ 满足 $\mathrm{i} \cdot \mathrm{z}+2=2 \mathrm{i}$ ，则 $|z|=$

2. $z = 1 + i , \frac { 1 } { z - 1 } = ( )$

2． 已知 $z=1+i$ ，则 $\frac{1}{z-1}=$

1．设 $z=5+\mathrm{i}$ ，则 $\mathrm{i}(\bar{z}+z)=$

10．已知 i 是虚数单位，复数 $(\sqrt{5}+\mathrm{i}) \cdot(\sqrt{5}-2 \mathrm{i})=$ $\_\_\_\_$ ．

2．若 $\frac{z}{z-1}=1+\mathrm{i}$ ，则 $z=()$

2．设 $z=\sqrt{2} \mathrm{i}$ ，则 $z \cdot \bar{z}=$

2．已知 $\frac{z}{\mathrm{i}}=\mathrm{i}-1$ ，则 $z=$ ．

1．在复平面内，$(1+3 i)(3-i)$ 对应的点位于 ．

10．已知 i 是虚数单位，化简 $\frac{5+14 \mathrm{i}}{2+3 \mathrm{i}}$ 的结果为 $\_\_\_\_$ ．

2．若复数 $(a+\mathrm{i})(1-a \mathrm{i})=2, a \in \mathrm{R}$ ，则 $a=$

2．已知 $z=\frac{1-\mathrm{i}}{2+2 \mathrm{i}}$ ，则 $z-\bar{z}=(\quad)$

2．$\frac{5\left(1+\mathrm{i}^{3}\right)}{(2+\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}=$

1．若 $z=-1+\sqrt{3} \mathrm{i}$ ，则 $\frac{z}{z \bar{z}-1}=$

10．已知 i 是虚数单位，化简 $\frac{11-3 \mathrm{i}}{1+2 \mathrm{i}}$ 的结果为 $\_\_\_\_$ ．

2．若 $\mathrm{i}(1-z)=1$ ，则 $z+\bar{z}=(\quad)$

2．设 $(1+2 \mathrm{i}) a+b=2 \mathrm{i}$ ，其中 $a, b$ 为实数，则

3．若 $z=1+\mathrm{i}$ ．则 $|\mathrm{i} z+3 \bar{z}|=$（ ）

10．$i$ 是虚数单位，复数 $\frac{9+2 i}{2+i}=$ $\_\_\_\_$。

2．在复平面内，复数 $z$ 满足 $(1-i) z=2$ ，则 $z=$

2．已知 $a \in R,(1+a i) i=3+i$ ，（ $i$ 为虚数单位），则 $a=$（ ）

2．已知 $z=2-\mathrm{i}$ ，则 $z(\bar{z}+\mathrm{i})=(\quad)$

2．设 $i z=4+3 i$ ，则 $z=()$

3．已知 $(1-i)^{2} z=3+2 i$ ，则 $z=$（ ）

1．若 $\mathrm{z}=1+i$ ，则 $\left|\mathrm{z}^{2}-2 z\right|=$

2．$(1-i)^4=$（　　）

2．若 $z=1+2 \mathrm{i}+\mathrm{i}^{3}$ ，则 $|z|=$

2．已知 i 是虚数单位，则复数 $z=(1+\mathrm{i})(2-\mathrm{i})$ 的实部是 $\_\_\_\_$ ．

2．$\frac{2-\mathrm{i}}{1+2 \mathrm{i}}=~(\quad)$

2．$\frac{2-\mathrm{i}}{1+2 \mathrm{i}}=$

2．复数 $\frac{1}{1-3 \mathrm{i}}$ 的虚部是

2．在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(1,2)$ ，则 $i \cdot z=$ ．

2．若 $\bar{z}(1+i)=1-i$ ，则 $z=$

4．已知复数 $z$ 满足 $z+2 \bar{z}=6+\mathrm{i}$ ，则 $z$ 的实部为 $\_\_\_\_$

2．若 $z(1+\mathrm{i})=2 \mathrm{i}$ ，则 $z=$

2．设 $z=\mathrm{i}(2+\mathrm{i})$ ，则 $\bar{z}=$

2．（5 分）已知复数 $z=2+i$ ，则 $z \cdot z=$

2．已知复数 $(a+2 i)(1+i)$ 的实部为 0 ，其中 $i$ 为虚数单位，则实数 $a$ 的值是

2．若 $z(1+\mathrm{i})=2 \mathrm{i}$ ，则 $z=$

1．（5分）设 $z=\frac{1-i}{1+i}+2 i$ ，则 $|z|=$

1．（5分）$\frac{1+2 i}{1-2 i}=$

1．$(5$ 分 $) i(2+3 i)=$

2．（5分）$(1+i)(2-i)=(\quad)$

2．（5分）设 $z=\frac{1-i}{1+i}+2 i$ ，则 $|z|=$

2．（5分）$(1+i)(2-i)=(\quad)$

2．（5 分）在复平面内，复数 $\frac{1}{1-\mathrm{i}}$ 的共轭复数对应的点位于

2．（5 分）在复平面内，复数 $\frac{1}{1-\mathrm{i}}$ 的共轭复数对应的点位于（）

4．（4分）复数 $\frac{2}{1-\mathrm{i}}$（ i 为虚数单位）的共轭复数是

4．若复数 $z=1+i$（ i 是虚数单位），则 $z+\frac{2}{z}=$ $\_\_\_\_$

（9）$i$ 是虚数单位，复数 $\frac{6+7 i}{1+2 i}=$ $\_\_\_\_$ ．

1．（ 5 分）$\frac{3+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=$

12．（6 分）已知 $a , b \in R,(a+b i)^{2}=3+4 i$（ $i$ 是虚数单位），则 $a^{2}+b^{2}=$ $\_\_\_\_$ 5 ，$a b=$
$\_\_\_\_$ 2 ．

2．（5 分）若复数 $(1-i)(a+i)$ 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 $a$ 的取值范围是

2．（5分）$(1+\mathrm{i})(2+\mathrm{i})=(\quad)$

2．（5分）复平面内表示复数 $z=i(-2+i)$ 的点位于

2．（5 分）若复数 $(1-i)(a+i)$ 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 $a$ 的取值范围是

3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）

3．若复数 $z$ 满足 $2 \bar{z}-1=3+6 i$（ $i$ 是虚数单位），则 $z=$ $\_\_\_\_$ ；

9．（5分）已知 $a \in R$ ，$i$ 为虚数单位，若 $\frac{a-i}{2+i}$ 为实数，则 $a$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

1．设 $i$ 为虚数单位，则复数 $(1+i)^{2}=$

1．（5 分）（2016•山东）若复数 $z$ 满足 $2z+\overline{z}=3-2\mathrm{i}$，其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位，则 $z=$（　　）

2．（5分）设复数 $z$ 满足 $z+i=3-i$ ，则 $\bar{z}=$

2．（5 分）复数 $\frac{1+2 i}{2-i}=$

2．（5分）$(2016 \cdot$ 江苏 $)$ 复数 $z=(1+2 i)(3-i)$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z$ 的实部是 $\_\_\_\_$ ＿．

2．（5分）设（ $1+2 i)(a+i)$ 的实部与虚部相等，其中 $a$ 为实数，则 $a$ 等于 ）

2．（5分）若 $z=1+2 i$ ，则 $\frac{4 i}{z^{*} \bar{z}-1}=$

2．（5分）若 $z=4+3 i$ ，则 $\frac{\bar{z}}{|z|}=$

9．（5分）（2016•天津）$i$ 是虚数单位，复数 $z$ 满足 $(1+i) z=2$ ，则 $z$ 的实部为 $\_\_\_\_$。

9．（5 分）设 $a \in R$ ，若复数 $(1+i)(a+i)$ 在复平面内对应的点位于实轴上，则 $a=$
$\_\_\_\_$ －1。

9．（5分）（2016•天津）已知 $a, b \in R, i$ 是虚数单位，若 $(1+i)(1-b i)=a$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的值为

1． i 为虚数单位， $\mathrm{i}^{607}=$

1、已知 $\frac{(1-i)^{2}}{z}=1+i$（ $i$ 为虚数单位），则复数 $z=$

1．若 $(1+i)+(2-3 i)=a+b i \quad(a, b \in R, i$ 是虚数单位），则 $a, b$ 的值分别等于

1．（5 分）复数 $i(2-i)=(\quad)$

1．已知 $\frac{(1-i)^{2}}{z}=1+i$（ $i$ 为虚数单位），则复数 $z=$

1．（5分）设复数 $z$ 满足 $\frac{1+z}{1-z}=i$ ，则 $|z|=$（ ）

（1）设 i 是虚数单位，则复数 $\frac{2 i}{1-i}$ 在复平面内所对应的点位于

11．设复数 $a+b i(a, b \in R)$ 的模为 $\sqrt{3}$ ，则 $(a+b i)(a-b i)=$ $\_\_\_\_$ ．

11、设 $i$ 是虚数单位，则复数 $i-\frac{1}{i}=$ $\_\_\_\_$ ．

11．复数 $(1+2 i) i$ 的实部为

16、已知点 A 的坐标为 $(4 \sqrt{3}, 1)$ ，将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 $\frac{\pi}{3}$ 至 OB ，则点 B 的纵坐标为（ ）

2．（5分）若 $a$ 为实数，且 $(2+a i)(a-2 i)=-4 i$ ，则 $a=$

2．（5分）若为 $a$ 实数，且 $\frac{2+a i}{1+i}=3+i$ ，则 $a=$（ ）

2．设 i 是虚数单位，则复数 $i^{3}-\frac{2}{i}$（

2．（5分）（2015 •广东）已知 $i$ 是虚数单位，则复数 $(1+i)^{2}=$

3．（5分）已知复数 $z$ 满足 $(z-1) i=1+i$ ，则 $z=$（ ）

3．若复数 $z$ 满足 $3 z+\bar{z}=1+i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $z=$ $\_\_\_\_$ ．

1．若复数 $z$ 满足 $z(1+i)=2 i$（ $i$ 为虚数单位），则 $|z|=$

1．$i$ 为虚数单位，则 $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{2}=$

（1）已知 $a, b \in R, i$ 是虚数单位．若 $a+i=2-b i$ ，则 $(a+b i)^{2}=$

1．满足 $\frac{z+i}{z}=i$（ $i$ 是虚数单位）的复数 $z=(\quad)$

1．复数 $z=(3-2 i) i$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 等于

1．（5分）设 $\mathrm{z}=\frac{10 \mathrm{i}}{3+\mathrm{i}}$ ，则 z 的共轭复数为

1．复平面内表示复数 $i(1-2 i)$ 的点位于（

11．复数 $\frac{2-2 i}{1+i}=$ $\_\_\_\_$ ．

11．复数 $\frac{3+i}{i^{2}}$（ $i$ 为虚数单位）的实部等于 $\_\_\_\_$ ．

12．复数 $\frac{2-2 i}{1+i}=$

2．设复数 $z$ 满足 $(z-2 i)(2-i)=5$ ，则 $z=$

2．$i$ 为虚数单位，则 $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{2}=$

2．（5分）设复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内的对应点关于虚轴对称，$z_{1}=2+i$ ，则 $z_{1} z_{2}=$（ ）

2．设复数 z 满足 $(z-2 i)(2-i)=5$ ，则 $z=$

2．（5分）$\frac{(1+i)^{3}}{(1-i)^{2}}=$

2．复数 $(3+2 i) i$ 等于（ ）

2．（5分）$\frac{1+3 i}{1-i}=$

（2）【2014年上海，文 2 ，5分】若复数 $z=1+2 \mathrm{i}$ ，其中 i 是虚数单位，则 $\left(z+\frac{1}{\bar{z}}\right) \cdot \bar{z}=$ $\_\_\_\_$

3．已知复数 $z=2-i$ ，则 $z \cdot \bar{z}$ 的值为

3．（5分）设 $\mathrm{z}=\frac{1}{1+\mathrm{i}}+\mathrm{i}$ ，则 $|\mathrm{z}|=()$

9．（ 5 分）若 $(x+i) i=-1+2 i(x \in R)$ ，则 $x=$ $\_\_\_\_$ 2 ．

9．（ 5 分）复数 $\left(\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\right)^{2}=$ $\_\_\_\_$ －1。

1、复数 $z$ 满组 $(z-3)(2-i)=5$（ $z$ 为虚数单位），则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 为

（1）设 $i$ 是虚数单位，$\overline{\mathrm{z}}$ 是复数 $z$ 的共轭复数，若 $z \cdot \bar{z} i+2=2 z$，则 $\mathrm{z}=$

（1）设 $i$ 是虚数单位，若复数 $a-\frac{10}{3-i}(a \in R)$ 是纯虚数，则 $a$ 的值为

1．复数 $z=i \bullet(1+i)(i$ 为虚数单位 $)$ 在复平面上对应的点位于

1．复数 $\mathrm{z}=\mathrm{i} \cdot(1+\mathrm{i})(\mathrm{i}$ 为虚数单位 $)$ 在复平面上对应的点位于

2．（5分）设复数 $z$ 满足 $(1-i) z=2 i$ ，则 $z=$

2．（5 分）在复平面内，复数 $(2-i)^{2}$ 对应的点位于

2．（5分）若复数 $z$ 满足 $(3-4 i) z=|4+3 i|$ ，则 $z$ 的虚部为（ ）

2．（5分）$(1+\sqrt{3} i)^{3}=$

2．（5分）$\frac{1+2 i}{(1-i)^{2}}=$

3．（5分）（2013•广东）若复数 z 满足 $\mathrm{iz}=2+4 \mathrm{i}$ ，则在复平面内， z 对应的点的坐标是
A $(2,4)$
B
（2，－4）
C
（4，－2）
D $(4,2)$

（2）复数的 $Z=\frac{1}{i-1}$ 模为

(1)若复数z满足 (2 ) $11 7i(iz i- = +$为虚数单位)，则z为
(A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i　　　(D)－3－5i

1．（2012•天津）$i$ 是虚数单位，复数 $\frac{5+3 i}{4-i}=$

（1）复数 x 满足 $(z-i)(2-i)=5$ ．则 ()
A．$-2-2 i$
B $-2+2 i$
C $2-2 i$
D $2+2 i$

1．若复数 $z$ 满足 $z i=1-i$ ，则 $z$ 等于

（1）复数 z 满足 $(z-i) i=2+i$ ，则 $z=(\quad)$

1．（5分）复数 $\frac{-1+3 i}{1+i}=$

（1）若复数 $x$ 满足 $z(2-i)=11+7 i$（ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 为

12．若 $\frac{3+b \mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=a+b \mathrm{i}$（ $\mathrm{a}, ~ \mathrm{~b}$ 为实数， i 为虚数单位），则 $\mathrm{a}+\mathrm{b}=$ $\_\_\_\_$ ．

2．（5分）复数 $\mathrm{z}=\frac{-3+\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}$ 的共轭复数是

2．（5 分）在复平面内，复数 $\frac{10 i}{3+i}$ 对应的点的坐标为

2．已知 $i$ 是虚数单位，则 $\frac{3+i}{1-i}=$

3．（5分）下面是关于复数 $z=\frac{2}{-1+i}$ 的四个命题：其中的真命题为（ ），
$\mathrm{p}_{1}:|\mathrm{z}|=2$,
$\mathrm{p}_{2}: \mathrm{z}^{2}=2 \mathrm{i}$,
$p_{3}$ ：z的共轭复数为 $1+i$ ，
$p_{4}$ ：z的虚部为 -1 。

1．（5分）复数 $\frac{2+\mathrm{i}}{1-2 \mathrm{i}}$ 的共轭复数是

1．$i$ 是虚数单位，复数 $\frac{1-3 i}{1-i}=$

1．$i$ 是虚数单位，复数 $\frac{1-3 i}{1-i}=$

1．（5分）复数 $z=1+i, \bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，则 $z \cdot \bar{z}-z-1=$（）

2．复数 $-i+\frac{1}{i}=$

2．若 $a, b \in R, i$ 为虚数单位，且 $(a+i) i=b+i$ 则

2．（5分）复数 $\frac{5 i}{1-2 i}=$

2．（5分）（2011•北京）复数 $\frac{i-2}{1+2 i}=$

2．（3分）（2011．山东）复数 $z=\frac{2-i}{1+i}$（ $i$ 是虚数单位）在复平面内对应的点位于象限为 ）
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D 第四象限

2．复数 $\frac{i-2}{1+2 i}=$

2、（2011 •浙江）把复数 z 的共轭复数记作 $\bar{Z}$ ， i 为虚数单位。若 $\mathrm{z}=1+\mathrm{i}$ ，则（ $1+\mathrm{z}$ ）$\bullet \bar{Z}=~()$

1．（5分）复数 $\left(\frac{3-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)^{2}=$

（1）$i$ 是虚数单位，复数 $\frac{3+i}{1-i}=$

1．（5分）复数 $\frac{3+2 \mathrm{i}}{2-3 \mathrm{i}}=$

1．已知 $(x+i)(1-i)=y$ ，则实数 $x, y$ 分别为

（1） i 是虚数单位，复数 $\frac{-1+3 i}{1+2 i}=$

2.复数 在复平面上对应的点位于 【A】

9．（5分）（2010．北京）在复平面内，复数 $\frac{2 \mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$ 对应的点的坐标为 $\_\_\_\_$ $(-1,1)$ ．

1．（5分）$\frac{10 i}{2-i}=$

（1） i 是虚数单位，$\frac{5 i}{2-i}=$

2．（5分）已知 $\frac{\bar{Z}}{1+i}=2+i$ ，则复数 $z=$

2．（5分）（2009•陕西）已知$z$是纯虚数，$\frac{z+2}{1-i}$是实数，那么$z$等于（　　）

（2）已知复数 $z=1-2 i$ ，那么 $\frac{1}{\bar{z}}=$

3．（2009 浙江理 3）设 $z=1+i$（ $i$ 是虚数单位），则 $\frac{2}{z}+z^{2}=$（）

1．$i$ 是虚数单位，$\frac{i^{3}(i+1)}{i-1}=$

1．已知 $a$ 是实数，$\dfrac{a-i}{1+i}$ 是纯虚数，则 $a=$

1．复数 $\left(i-\frac{1}{i}\right)^{3}$ 等于

2．已知复数 $z=1-i$ ，则 $\frac{z^{2}-2 z}{z-1}=$（）

2．（5分）（2008•山东）设 $z$ 的共轭复数是 $\overline{z}$，若 $z + \overline{z} = 4$，$z \cdot \overline{z} = 8$，则 $\frac{\overline{z}}{z}$ 等于（ ）

2．（5分）设 $a, b \in R$ 且 $b \neq 0$ ，若复数（ $a+b i)^{3}$ 是实数，则（ ）

2．设 $z$ 的共轭复数是 $\bar{z}$ ，若 $z+\bar{z}=4, z \cdot \bar{z}=8$ ，则 $\frac{\bar{z}}{z}$ 等于

3、已知复数 $z=1-i$ ，则 $\frac{z^{2}}{z-1}=$

4．复数 $\frac{1}{-2+i}+\frac{1}{1-2 i}$ 的虚部是