函数及其表示　·　历年高考数学真题与解析

11．已知函数 $f(x)=4^{x}+\log _{2} x$ ，则 $f\left(\frac{1}{2}\right)=$ $\_\_\_\_$。

23．已知 $f(x)=2|x-a|-a, a>0$ ．
（1）求不等式 $f(x)<x$ 的解集；
（2）若曲线 $y=f(x)$ 与坐标轴所围成的图形的面积为 2 ，求 $a$ ．

11．函数 $f(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{1-x}$ 的定义域是 $\_\_\_\_$ ．

13．以下函数的定义域为 R 的 是（ ）

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3} \cos 2 t \\ y=2 \sin t\end{array}\right.$ ，（ $t$ 为参数），以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$ ．
（1）写出 $l$ 的直角坐标方程；
（2）若 $l$ 与 $C$ 有公共点，求 $m$ 的取值范围．

6．已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}, \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})$ 为 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的反函数，则 $\mathrm{f}^{\prime}(27)=$ $\_\_\_\_$

12．已知 $a \in \mathrm{R}$ ，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}-4, x>2 \\ |x-3|+a, x \leq 2,\end{array}\right.$ 若 $f[f(\sqrt{6})]=3$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

16.

已知函数 $f(x)=\left|e^{x}-1\right|, x_{1}<0, x_{2}>0$ ，函数 $f(x)$ 的图象在点 $A\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)$ 和点 $B\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)$ 的两条切线互相垂直，且分别交 $y$ 轴于 $M, N$ 两点，则 $\frac{|A M|}{|B N|}$ 取值范围是

11．函数 $f(x)=\frac{1}{x+1}+\ln x$ 的定义域是 $\_\_\_\_$ ．

19．有一条长为 120 米的步行道 $OA$，$A$ 是垃圾投放点 $\omega_1$，若以 $O$ 为原点，$OA$ 为 $x$ 轴正半轴建立直角坐标系，设点 $B(x,0)$，现要建设另一座垃圾投放点 $\omega_2(t,0)$，函数 $f_t(x)$ 表示与 $B$ 点距离最近的垃圾投放点的距离.
（1）若 $t = 60$，求 $f_{60}(10)$、$f_{60}(80)$、$f_{60}(95)$ 的值，并写出 $f_{60}(x)$ 的函数解析式；
（2）若可以通过 $f_t(x)$ 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利.
问：垃圾投放点 $\omega_2$ 建在何处才能比建在中点时更加便利？

4．函数 $f(x)=x^{2}(x>0)$ 的反函数为 $\_\_\_\_$

4．函数 $y=\sqrt{7+6 x-x^{2}}$ 的定义域是 $\boldsymbol{\Delta}$ ．

9．已知 $a, b \in R$, 函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, x<0 \\ \frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2}(a+1) x^{2}+a x, x \geq 0\end{array}\right.$ ，若函数 $y=f(x)-a x-b$ 恰有三个零点，则

23．设函数 $f(x)=|2 x+1|+|x-1|$ ．
（1）画出 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象；
（2）当 $x \in[0,+\infty)$ 时，$f(x) \leq a x+b$ ，求 $a+b$ 的最小值．

5．函数 $f(x)=\sqrt{\log _{2} x-1}$ 的定义域为 $\_\_\_\_$ A ．

15．（5分）设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+1, x \leqslant 0 \\ 2^{x}, x>0\end{array}\right.$ ，则满足 $f(x)+f\left(x-\frac{1}{2}\right)>1$ 的 $x$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ $\left(-\frac{1}{4},+\infty\right)$ ．

10．（5 分）函数 $f(x)=\frac{x}{x-1}(x \geqslant 2)$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 2 ．

10．（5分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数 $y=10^{\lg x}$ 的定义域和值域相同的是（ ）

5．（5分）（2016•江苏）函数 $y=\sqrt{3-2 x-x^{2}}$ 的定义域是 $\_\_\_\_$ ．

10．（5分）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2^{x-1}-2, x \leqslant 1 \\ -\log _{2}(x+1), x>1\end{array}\right.$ ，且 $f(a)=-3$ ，则 $f$（ $6-a )=(\quad)$

13．（3分）已知函数 $f(x)=a x^{3}-2 x$ 的图象过点 $(-1,4)$ 则 $a=-2$ ．

3．函数 $f(\mathrm{x})=\log _{2}\left(\mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{x}-3\right)$ 的定义域是

4．设 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}1-\sqrt{x}, x \geq 0 \\ 2^{x}, x<0\end{array}\right.$，则 $f(f(-2))=$

4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入 $x$ 的值为 1 ，则输出 $y$ 的值为

4．设 $f^{-1}(x)$ 为 $f(x)=\frac{x}{2 x+1}$ 的反函数，则 $f^{-1}(2)=$ $\_\_\_\_$ ．

5．（5分）设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+\log _{2}(2-x), & x<1 \\ 2^{x-1}, & x \geqslant 1\end{array}\right.$ ，则 $f(-2)+f\left(\log _{2} 12\right)=$（

6．函数 $f(x)=\sqrt{4-|x|}+\lg \frac{x^{2}-5 x+6}{x-3}$ 的定义域为

7．设 $x \in \mathbf{R}$ ，定义符号函数 $\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{cc}1, & x>0, \\ 0, & x=0, \\ -1, & x<0 .\end{array}\right.$ 则

10．已知 $f(x)$ 为偶函数，当 $x \geq 0$ 时，$f(x)=\left\{\begin{array}{c}\cos \pi x, x \in\left[0, \frac{1}{2}\right] \\ 2 x-1, x \in\left(\frac{1}{2},+\infty\right)\end{array}\right.$，则不等式 $f(x-1) \leq \frac{1}{2}$ 的解集为

10．如图，某飞行器在 4 千米高空水平飞行，从距着陆点 $A$ 的水平距离 10 千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）

10．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为

13．设 $f(x)$ 是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 $x \in[-1,1)$ 时，$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-4 x^{2}+2, & -1 \leq x<0, \\ x, & 0 \leq x<1,\end{array}\right.$ 则 $f\left(\frac{3}{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

14．设 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数，且 $f(x)>0$ ，对任意 $a>0, b>0$ ，若经过点 $(a, f(a)),(b,-f(b))$的直线与 $x$ 轴的交点为 $(c, 0)$ ，则称 $c$ 为 $a, b$ 关于函数 $f(x)$ 的平均数，记为 $M_{f}(a, b)$ ，例如，当 $f(x)=1(x>0)$ 时，可得 $M_{f}(a, b)=c=\frac{a+b}{2}$ ，即 $M_{f}(a, b)$ 为 $a, b$ 的算术平均数．
①当 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ $(x>0)$ 时，$M_{f}(a, b)$ 为 $a, b$ 的几何平均数；
②当 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ $(x>0)$ 时，$M_{f}(a, b)$ 为 $a, b$ 的调和平均数 $\frac{2 a b}{a+b}$ ；
（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）

15．以 $A$ 表示值域为 R 的函数组成的集合，$B$ 表示具有如下性质的函数 $\varphi(x)$ 组成的集合：对于函数 $\varphi(x)$，存在一个正数 $M$，使得函数 $\varphi(x)$ 的值域包含于区间 $[-M, M]$。例如，当 $\varphi_{1}(x)=x^{3}, \varphi_{2}(x)=\sin x$ 时， $\varphi_{1}(x) \in A, \quad \varphi_{2}(x) \in B$．现有如下命题：
①设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，则＂$f(x) \in A$＂的充要条件是＂$\forall b \in R, \exists a \in D, f(a)=b$＂；
②若函数 $f(x) \in B$，则 $f(x)$ 有最大值和最小值；
③若函数 $f(x), g(x)$ 的定义域相同，且 $f(x) \in A, g(x) \in B$，则 $f(x)+g(x) \notin B$；
④若函数 $f(x)=a \ln (x+2)+\frac{x}{x^{2}+1}(x>-2, a \in R)$ 有最大值，则 $f(x) \in B$．其中的真命题有 $\_\_\_\_$．（写出所有真命题的序号）

15、设函数
222 2, 0( ), 0x x xf xx xì+ + £ï=í- ïî
，若 ( ( )) $2f f a=$，则a＝_________；

（3）【2014年上海，文3，5分】设常数 $a \in \mathbf{R}$ ，函数 $f(x)=|x-1|+\left|x^{2}-a\right|$ ，若 $f(2)=1$ ，则 $f(1)=$ $\_\_\_\_$。

（3）函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\log _{2} x-1}}$ 的定义域为

4．已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}a \cdot 2^{x}, x \geq 0 \\ 2^{-x}, x<0\end{array}(a \in R)\right.$ ，若 $f[f(-1)]=1$ ，则 $a=$

5．（5分）函数 $y=\ln (\sqrt[3]{x}+1)(x>-1)$ 的反函数是（ ）

（11）函数 $y=\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)+\sqrt{1-x^{2}}$ 的定义域为 $\_\_\_\_$．

13．已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x^{3}, x<0, \\ -\tan x, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2},\end{array}\right.$ 则 $f\left(f\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=$

（14）定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+1)=2 f(x)$。若当 $0 \leq x \leq 1$ 时。 $f(x)=x(1-x)$，则当 $-1 \leq x \leq 0$ 时，$f(x)=$

16．设 $S$，$T$ 是 $\mathbb{R}$ 的两个非空子集，如果存在一个从 $S$ 到 $T$ 的函数 $y=f(x)$ 满足：
（i）$T=\{f(x)\mid x\in S\}$；（ii）对任意 $x_1,x_2\in S$，当 $x_1<x_2$ 时，恒有 $f(x_1)<f(x_2)$，
那么称这两个集合 “保序同构”，现给出以下 3 对集合：
① $A=N,B=N^*$；
② $A=\{x\mid -1\le x\le 3\},B=\{x\mid -8\le x\le 10\}$；
③ $A=\{x\mid 0\le x\le 1\},B=\mathbb{R}$．
其中，“保序同构”的集合对的序号是______．（写出“保序同构”的集合对的序号）．

23．已知动点 $P$ 、 $Q$ 都在曲线 $C:\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \beta \\ y=2 \sin \beta\end{array}\right.$（ $\beta$ 为参数）上，对应参数分别为 $\beta= \alpha$ 与 $\beta=2 \alpha(0<\alpha<2 \pi), \mathrm{M}$ 为 PQ 的中点。
（1）求 M 的轨迹的参数方程；
（2）将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 $\alpha$ 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点

（3）函数
21log ( 2)$yx=-$
的定义域为

4．（5分）已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-1,0)$ ，则函数 $f(2 x+1)$ 的定义域为（ ）

5．（5分）函数 $f(x)=\log _{2}\left(1+\frac{1}{x}\right)(x>0)$ 的反函数 $f^{-1}(x)=(\quad)$

5．（5分）执行程序框图，如果输入的 $\mathrm{t} \in[-1,3]$ ，则输出的 s 属于（ ）

6．（5分）函数 $f(x)=\log _{2}\left(1+\frac{1}{x}\right)(x>0)$ 的反函数 $f^{-1}(x)=(\quad)$

8．设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\left(x-\frac{1}{x}\right)^{4}, & x<0, \\ -\sqrt{x}, & x \geq 0 .\end{array}\right.$，则当 $\mathrm{x}>0$ 时，$f[f(x)]$ 表达式的展开式中常数项为

10．设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上且周期为 2 的函数，在区间 $[-1,1]$ 上，

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}a x+1,-1 \leqslant x<0, \\ \frac{b x+2}{x+1}, 0 \leqslant x \leqslant 1,\end{array}\right.$ 其中 $a, b \in \mathbf{R}$ ．若 $f\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)$ ，
（第9题）
则 $a+3 b$ 的值为

（13）在极坐标系中，圆 $\rho=4 \sin \theta$ 的圆心到直线 $\theta=\frac{\pi}{6}(\rho \in R)$ 的距离是 $\_\_\_\_$。

14．若将函数 $f(x)=x^{5}$ 表示为
$f(x)=a_{0}+a_{1}(1+x)+a_{2}(1+x)^{2}+a_{3}(1+x)^{3}++a_{4}(1+x)^{4}++a_{5}(1+x)^{5}$,其中 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{5}$ 为实数，则 $a_{3}=$ $\_\_\_\_$ ．

（第 12 题图）

（2）设集合 $A=\{x \mid-3 \leq 2 x-1 \leq 3\}$ ，集合 $\mathrm{B}^{\text {为函数 } y=\lg (x-1) \text { 的定义域，则 } A \cap B=10}$

2．（5分）函数 $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}+1}(\mathrm{x} \geqslant-1)$ 的反函数是（ ）

5．函数 $f(x)=\sqrt{1-2 \log _{6} x}$ 的定义域为 $\_\_\_\_$ A ．

8．（5 分）某棵果树前 n 年的总产量 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 与 n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前 m 年的年平均产量最高，则 m 的值为（）

1、（2011•浙江）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{l}-x, x \leq 0 \\ x^{2}, x>0\end{array}\right.$ ，若 $\mathrm{f}(\mathrm{a})=4$ ，则实数 $\mathrm{a}=(\quad)$

11．设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\lg x, x>0 \\ 10^{x}, x, 0\end{array}\right.$ ，则 $f(f(-2))=$ $\_\_\_\_$ ．

11．已知实数 $a \neq 0$ ，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x+a, x<1 \\ -x-2 a, x \geq 1\end{array}\right.$ ，若 $f(1-a)=f(1+a)$ ，则 $a$ 的值为
$\_\_\_\_$
A。

11．（5分）（2011•陕西）设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\lg x, x>0 \\ x+\int{ }_{0}^{a} 3 t^{2} d t, x \leqslant 0\end{array}\right.$ ，若 $f(f(1))=1$ ，则 $a=$ 1 ．

2．（5分）函数 $y=2 \sqrt{x}(x \geq 0)$ 的反函数为

4．曲线 $y=e^{x}$ 在点 $\mathrm{A}(0,1)$ 处的切线斜率为

5.已知函数$f(x)=$ 若f（f（0））=4a，则实数a等于【C】

12．设函数 $f(x)=\sqrt{a x^{2}+b x+c}(a<0)$ 的定义域为 $D$ ，若所有点 $(s, f(t))(s, t \in D)$ 构成一个正方形区域，则 $a$ 的值为

2．函数 $y=\frac{\ln (x+1)}{\sqrt{-x^{2}-3 x+4}}$ 的定义域为

2．函数 $y=\frac{\sqrt{-x^{2}-3 x+4}}{x}$ 的定义域为

2．（5分）函数 $y=\sqrt{-x}(x \leq 0)$ 的反函数是

3．（5分）（2009•陕西）函数 $f(x)=\sqrt{2 x-4}(x \geqslant 4)$ 的反函数为

3．（5分）（2009•陕西）函数 $f(x)=\sqrt{2 x-4}(x \geqslant 4)$ 的反函数为（ ）

6．（5分）已知函数 $f(x)$ 的反函数为 $g(x)=1+2 \lg x(x>0)$ ，则 $f(1)+g(1$ ）＝

1．（5分）函数 $\mathrm{y}=\sqrt{1-\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{x}}$ 的定义域为

1．（5分）函数 $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}(\mathrm{x}-1)}+\sqrt{\mathrm{x}}$ 的定义域为

11．（5 分）（2008 •陕西）定义在 R 上的函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 满足 $\mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{y})=\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{f}(\mathrm{y})+2 \mathrm{xy}(\mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathrm{R}), \mathrm{f}(1)=$ 2 ，则 $f(-3)$ 等于

（11）已知函数 $f(x)=x^{2}+|x-2|$ ，则 $f(1)=$

13．函数 $y=\left\{\begin{array}{l}x+1, x<0, \\ e^{x}, x \geqslant 0\end{array}\right.$ 的反函数是 $\_\_\_\_$ .

13．设函数 $y=f(x)$ 存在反函数 $y=f^{-1}(x)$ ，且函数 $y=x-f(x)$ 的图象过点 $(1,2)$ ，则函数 $y=f^{-1}(x)-x$ 的图象一定过点 $\_\_\_\_$ ．

15．已知 $f(3^x) = 4x \log_2 3 + 233$，则 $f(2) + f(4) + f(8) + \cdots + f(2^8)$ 的值等于_____．

2．（5 分）（2008 • 四川）函数 $y=\sqrt{1-x}+\operatorname{lgx}$ 的定义域为

（3）函数 $y=1+\sqrt{x} \quad(0 \leq x \leq 4)$ 的反函数是

（4）在 $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ 的展开式中，含 $x^{4}$ 的项的系数是

4．函数 $f(x)=x^{2}(x \leq 0)$ 的反函数是

（5）函数 $f(x)=(x-1)^{2}+1(x<1)$ 的反函数为

5．设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1-x^{2}, & x \leqslant 1, \\ x^{2}+x-2, & x>1,\end{array}\right.$ 则 $f\left(\frac{1}{f(2)}\right)$ 的值为

（8）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{rc}x+2, & x \leq 0 \\ -x+2, & x>0\end{array}\right.$ ，则不等式 $f(x) \geq x^{2}$ 的解集是