2015 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．若集合 $M=\{x \mid(x+4)(x+1)=0\}, N=\{x \mid(x-4)(x-1)=0\}$ ，则 $M \cap N=$

9．在 $(\sqrt{x}-1)^{4}$ 的展开式中， x 的系数为 $\_\_\_\_$。

10．在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，若 $a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=25$ ，则 $a_{2}+a_{8}=$ $\_\_\_\_$。

11．设 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．若 $a=\sqrt{3}, \sin \mathrm{~B}=\frac{1}{2}, \mathrm{C}=\frac{\pi}{6}$ ，则 $\mathrm{b}=$ $\_\_\_\_$。

12．某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言。（用数字作答）

14．（坐标系与参数方程选做题）已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $2 \rho \sin \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}$ ，点 A 的极坐标为 $\mathrm{A}\left(2 \sqrt{2}, \frac{7 \pi}{4}\right)$ ，则点 A 到直线 $l$ 的距离为 $\_\_\_\_$。

15．（几何证明选讲选作题）如图1，已知 $A B$ 是圆 $O$ 的直径，$A B=4, E C$ 是圆 $O$ 的切线，切点为 C，
$\mathrm{BC}=1$ ，过圆心 O 做 BC 的平行线，分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P ，则 $\mathrm{OD}=$ $\_\_\_\_$。

16．（本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 $\boldsymbol{m}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right), \boldsymbol{n}=(\sin \mathrm{x}, \cos \mathrm{x}), \mathrm{x} \in(0$ ，

$\frac{\pi}{2}$ ）。
（1）若 $\boldsymbol{m} \perp \boldsymbol{n}$ ，求 $\tan \mathrm{x}$ 的值（2）若 $\boldsymbol{m}$ 与 $\boldsymbol{n}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$ ，求 x 的值。

## 17．（本小题满分12分）

某工厂 36 名工人的年龄数据如下表。

（1）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44 ，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的平均值 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ ；
（3）36名工人中年龄在 $\bar{x}-s$ 与 $\bar{x}+s$ 之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到 $0.01 \%$ ）？

## 18．（本小题满分 14 分）

如图2，三角形 $P D C$ 所在的平面与长方形 $A B C D$ 所在的平面垂直，$P D=P C=4$ ， $A B=6, B C=3$ ．点 $E$ 是 $C D$ 边的中点，点 $F, G$ 分别在线段 $A B, B C$ 上，且 $A F=2 F B$ ， $C G=2 G B$ ．
（1）证明：$P E \perp F G$ ；
（2）求二面角 $P-A D-C$ 的正切值；
（3）求直线 $P A$ 与直线 $F G$ 所成角的余弦值．

图2

## 19．（本小题满分 14 分）

设 $\mathrm{a}>1$ ，函数 $f(x)=\left(1+x^{2}\right) e^{x}-a$ 。
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）证明：$f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上仅有一个零点；
（3）
若曲线 $y=f(x)$ 在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴平行，且在点 $M(m, n)$ 处的切线与直线 $O P$ 平行（ $O$ 是坐标原点），证明：$m \leq \sqrt[3]{a-\frac{2}{e}}-1$

## 20．（本小题满分 14 分）

已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-6 x+5=0$ 相交于不同的两点 $A, B$ ．
（1）求圆 $C_{1}$ 的圆心坐标；
（2）求线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；
（3）是否存在实数 $k$ ，使得直线 $L: y=k(x-4)$ 与曲线 $C$ 只有一个交点：若存在，求出 $k$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分 14 分）
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}=4-\frac{n+2}{2^{n-1}}, n \in N^{*}$ ．
（1）求 $a_{3}$ 的值；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 n 项和 Tn ；

（3）令 $\mathrm{b}_{1}=a_{1}, b_{n}=\frac{T_{n-1}}{n}+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right) a_{n}(n \geq 2)$ ，证明：数列 $\left\{\mathrm{b}_{n}\right\}$ 的前 n 项和 $S_{n}$

满足 $S_{n}<2+2 \ln n$