2019 新课标 II 卷 数学

4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 $L _ { 2 }$ 点的轨道运行． $L _ { 2 }$ 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为$M _ { 1 }$ ，月球质量为 $M _ { 2 }$ ，地月距离为R， $L _ { 2 }$ 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
${ \frac { M _ { 1 } } { \left( R + r \right) ^ { 2 } } } + { \frac { M _ { 2 } } { r ^ { 2 } } } = ( R + r ) { \frac { M _ { 1 } } { R ^ { 3 } } }$ 设 $\alpha = \frac { r } { R }$ ，由于 的值很小，因此在近似计算中 ${ \frac { 3 \alpha ^ { 3 } + 3 \alpha ^ { 4 } + \alpha ^ { 5 } } { ( 1 + \alpha ) ^ { 2 } } } \approx 3 \alpha ^ { 3 }$ ，则r的近似值
为

演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是

设α，β为两个平面，则 $\alpha / / \beta |$ 的充要条件是

下列函数中，以 $\frac { \pi } { 2 }$ 为周期且在区间( $\frac { \pi } { 4 }$ ， $\frac { \pi } { 2 } )$ 单调递增的是

设函数f x( )的定义域为R，满足 $f ( x + 1 ) = 2 f ( x )$ ，且当 $x \in ( 0 , 1 ]$ 时，

$f ( x ) = x ( x - 1 )$ .若对任意 $x \in ( - \infty , m ]$ ，都有 $f ( x ) \geq - { \frac { 8 } { 9 } }$ ，则m的取值范围是

我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为

11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.

（1）求 $P \ ( X { = } 2 )$

（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.

已知函数 $f \left( x \right) = \ln x - { \frac { x + 1 } { x - 1 } }$

（1）讨 ${ \dot { \mathbb { V } } } { \hat { \mathbb { E } } } f ( x )$ 的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

（2）设x₀是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x在点 $A ( x _ { 0 } , \ \mathrm { ~ l n ~ }$

$x _ { 0 } )$ 处的切线也是曲线 $y = \mathtt { e } ^ { x }$ 的切线.

[选修4-5：不等式选讲]

已知 $f ( x ) = \mid x - a \mid x + \mid x - 2 \mid ( x - a ) .$

（1）当a =1时，求不等式f x( ) 0< 的解集；

（2）若 $x \in ( - \infty , 1 )$ 时， $f ( x ) < 0$ ，求a的取值范围.