2024 新课标 II 卷 数学（新高考二卷）

已知 $z = - 1 - \mathrm { i }$ ，则 $| z | =$ （ ）

已知命题 p： $\forall x \in \mathbf { R }$ ，| 1| 1x + > ；命题 q： $\exists x > 0$ $\boldsymbol { x } ^ { 3 } = \boldsymbol { x }$ ，则（ ）

已知向量 $\vec { a } , \vec { b }$ 满足 $\left| { \vec { a } } \right| = 1 , \left| { \vec { a } } + 2 { \vec { b } } \right| = 2$ ，且 $\left( { \vec { b } } - 2 { \vec { a } } \right) \bot { \vec { b } }$ ，则 $\left| { \vec { b } } \right| =$ （ ）

某农业研究部门在面积相等的 100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并部分整理下表

<table><tr><td>亩产量</td><td>[900,950)</td><td>[950,1000)</td><td>[1000,1050)</td><td>[1100,1150)</td><td>[1150,1200)</td></tr><tr><td>频数</td><td>6</td><td>12</td><td>18</td><td>24</td><td>10</td></tr></table>

据表中数据，结论中正确的是（ ）

已知曲线 C： $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 6 ( y > 0 )$ ），从 C上任意一点P向x轴作垂线段 $P P ^ { \prime }$ ，P¢为垂足，则线段 $P P ^ { \prime }$ 的中点M的轨迹方程为（ ）

设函数 $f ( x ) = a ( x + 1 ) ^ { 2 } - 1$ $g ( x ) = \cos x + 2 a x$ ，当 $x \in ( - 1 , 1 )$ 时，曲线 y f x= ( ) 与 $y = g ( x )$ 恰有一个交点，则a =（ ）

已知正三棱台 $A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 的体积为 $\frac { 5 2 } { 3 } , A B = 6 , A _ { 1 } B _ { 1 } = 2$ ，则 $A _ { 1 } A$ 与平面ABC所成角的正切值为（ ）

设函数 $f ( x ) = ( x + a ) \ln ( x + b )$ ，若 $f ( x ) \geq 0$ ，则 $a ^ { 2 } + b ^ { 2 }$ 的最小值为（ ）

对于函数 $f ( x ) = \sin 2 x$ 和 $g ( x ) = \sin ( 2 x - \frac { \pi } { 4 } )$ ，下列正确的有（ ）

抛物线 $C \colon y ^ { 2 } = 4 x$ 的准线为l，P为C上的动点，过P作 $\textcircled { \cdot } A : x ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } = 1$ 的一条切线，Q 为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）

记 $S _ { n }$ 为等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和，若 $a _ { 3 } + a _ { 4 } = 7 ~ , ~ 3 a _ { 2 } + a _ { 5 } = 5$ ，则 $S _ { 1 0 } =$

已知a为第一象限角， $\beta$ 为第三象限角， $\tan \alpha + \tan \beta = 4$ $\tan \alpha \tan \beta = { \sqrt { 2 } } + 1$ ，则 $\sin ( \alpha + \beta ) =$

在如图的 4×4 方格表中选 4 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 $\_$种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是

<table><tr><td>11</td><td>21</td><td>31</td><td>40</td></tr><tr><td>12</td><td>22</td><td>33</td><td>42</td></tr><tr><td>13</td><td>22</td><td>33</td><td>43</td></tr><tr><td>15</td><td>24</td><td>34</td><td>44</td></tr></table>

如图，平面四边形 ABCD 中， AB = 8，CD = 3， $A D = 5 { \sqrt { 3 } }$ $\angle A D C = 9 0 ^ { \circ }$ $\angle B A D = 3 0 ^ { \circ }$ ，点 E，F 满足 $\overrightarrow { A E } = \frac { 2 } { 5 } \overrightarrow { A D }$ $\overrightarrow { A F } = \frac { 1 } { 2 } \overrightarrow { A B }$ ，将 $\triangle A E F$ 沿EF对折至! PEF，使得 $P C = 4 \sqrt { 3 }$

（1）证明： $E F \perp P D$ ；

（2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值