（21）（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 x O…——2014 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，直线 $y=x$ 被椭圆 $C$ 截得的线段长为 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ ．
（I）求椭圆 $C$ 的方程；
（II）过原点的直线与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点（ $A, B$ 不是椭圆 $C$ 的顶点），点 $D$ 在椭圆 $C$ 上，且 $A D \perp A B$ ，直线 $B D$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $M, N$ 两点．
（i）设直线 $B D, A M$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ．证明存在常数 $\lambda$ 使得 $k_{1}=\lambda k_{2}$ ，并求出 $\lambda$ 的值；
（ii）求 $\triangle O M N$ 面积的最大值．
【解析】①$\because e=\frac{\sqrt{3}}{2} \therefore \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 即 $\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{3}{4}, \frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}=\frac{3}{4} \therefore a^{2}=4 b^{2}$
设直线与椭圆交于 $p, q$ 两点。不妨设 $p$ 点为直线和椭圆在第一象限的交点。

又 ∵ 弦长为 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}, \therefore p\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)$
$\therefore \frac{\frac{4}{5}}{a^{2}}+\frac{\frac{4}{5}}{b^{2}}=1$
联立解得 $a^{2}=4, b^{2}=1$
∴ 椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ ．