2014 高考数学第 21 题答案解析

（21）（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，直线 $y=x$ 被椭圆 $C$ 截得的线段长为 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ ．
（I）求椭圆 $C$ 的方程；
（II）过原点的直线与椭圆 C 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点（A， B 不是椭圆 C 的顶点）．
点 D 在椭圆 C 上，且 $A D \perp A B$ ，直线 BD 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 两点．
（i）设直线 $\mathrm{BD}, \mathrm{AM}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明存在常数 $\lambda$ 使得 $k_{1}=\lambda k_{2}$ ，并求出 $\lambda$ 的值；
（ii）求 $\triangle O M N$ 面积的最大值．