2017_退役省自主命题 (2017·理)
20．（13分）已知函数 $f(x)=x^{2}+2 \cos x, g(x)=e^{x}(\cos x-\sin x+2 x-2)$ ，其中 $\mathrm{e} \approx 2.17828 \ldots$ 是自然对数的底数．
（I）求曲线 $y=f(x)$ 在点（ $\pi, f(\pi)$ ）处的切线方程；
（II）令 $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{g}$
（x）－a
$f(x)(a \in R)$ ，讨论 $h(x)$ 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【解答】
（13分）（2017•山东）已知函数 $f(x)=x^{2}+2 \cos x, g(x)=e^{x}(\cos x-\sin x+ 2 x-2$ ），其中 $e \approx 2.17828 \ldots$ 是自然对数的底数。
（I）求曲线 $y=f(x)$ 在点（ $\pi, f(\pi)$ ）处的切线方程；
（II）令 $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{g}$
$f(x)(a \in R)$ ，讨论 $h(x)$ 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【解答】解：（I）$f(\pi)=\pi^{2}-2$ ．$f^{\prime}(x)=2 x-2 \sin x, \therefore f^{\prime}(\pi)=2 \pi$ ．
∴ 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(\pi, f(\pi))$ 处的切线方程为：$y-\left(\pi^{2}-2\right)=2 \pi(x-\pi)$
化为： $2 \pi x-y-\pi^{2}-2=0$ ．
（II）$h(x)=g(x)-a f(x)=e^{x}(\cos x-\sin x+2 x-2)-a\left(x^{2}+2 \cos x\right)$
$\mathrm{h}^{\prime}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}(\cos \mathrm{x}-\sin \mathrm{x}+2 \mathrm{x}-2)+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}(-\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x}+2)-\mathrm{a}(2 \mathrm{x}-2 \sin \mathrm{x})$
$=2(x-\sin x)\left(e^{x}-a\right)=2(x-\sin x)\left(e^{x}-e^{\ln a}\right)$.
令 $u(x)=x-\sin x$ ，则 $u^{\prime}(x)=1-\cos x \geq 0, \therefore$ 函数 $u(x)$ 在 $R$ 上单调递增。
$\because u(0)=0, \quad \therefore x>0$ 时，$u(x)>0 ; x<0$ 时，$u(x)<0$ ．
①$a \leq 0$ 时，$e^{x}-a>0, \therefore x>0$ 时，$h^{\prime}(x)>0$ ，函数 $h(x)$ 在（ $0,+\infty$ ）单调递增；
$x<0$ 时，$h^{\prime}(x)<0$ ，函数 $h(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 单调递减．
$\therefore x=0$ 时，函数 $h(x)$ 取得极小值，$h(0)=-1-2 a$ ．
② $\mathrm{a}>0$ 时，令 $\mathrm{h}^{\prime}(\mathrm{x})=2(\mathrm{x}-\sin \mathrm{x})\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{e}^{\ln \mathrm{a}}\right)=0$ ．
解得 $x_{1}=\ln a, x_{2}=0$ 。
① $0
$\mathrm{x} \in(\ln \mathrm{a}, 0)$ 时， $\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{e}^{\ln \mathrm{a}}>0, \mathrm{~h}^{\prime}(\mathrm{x})<0$ ，函数 $\mathrm{h}(\mathrm{x})$ 单调递减；
$x \in(0,+\infty)$ 时，$e^{x}-e^{\ln a}>0, h^{\prime}(x)>0$ ，函数 $h(x)$ 单调递增．
∴ 当 $\mathrm{x}=0$ 时，函数 $\mathrm{h}(\mathrm{x})$ 取得极小值， $\mathrm{h}(0)=-2 \mathrm{a}-1$ ．
当 $x=\ln a$ 时，函数 $h(x)$ 取得极大值，$h(\ln a)=-a\left[\ln ^{2} a-2 \ln a+\sin (\ln a)+\cos (\right.$ Ina）＋2］．
（2）当 $a=1$ 时，$\quad \ln a=0, \quad x \in R$ 时，$h^{\prime}(x) \geq 0, \quad \therefore$ 函数 $h(x)$ 在 $R$ 上单调递增．
（3） $1
$\mathrm{x} \in(0, \ln a)$ 时， $\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{e}^{\ln \mathrm{a}}<0, \mathrm{~h}^{\prime}(\mathrm{x})<0$ ，函数 $\mathrm{h}(\mathrm{x})$ 单调递减；
$x \in(\ln a,+\infty)$ 时，$e^{x}-e^{\ln a}>0, h^{\prime}(x)>0$ ，函数 $h(x)$ 单调递增．
∴ 当 $\mathrm{x}=0$ 时，函数 $\mathrm{h}(\mathrm{x})$ 取得极大值， $\mathrm{h}(0)=-2 \mathrm{a}-1$ ．
当 $\mathrm{x}=\ln \mathrm{a}$ 时，函数 $\mathrm{h}(\mathrm{x})$ 取得极小值， $\mathrm{h}(\ln \mathrm{a})=-\mathrm{a}\left[\ln ^{2} \mathrm{a}-2 \ln \mathrm{a}+\sin (\ln \mathrm{a})+\cos (\right.$ Ina）＋2］．
综上所述：$a \leq 0$ 时，函数 $h(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增；$x<0$ 时，函数 $h(x)$ 在 （ $-\infty$ ，0）单调递减。
$x=0$ 时，函数 $h(x)$ 取得极小值，$h(0)=-1$－2a． 当 $a=1$ 时，$\quad \ln a=0$ ，函数 $h(x)$ 在 $R$ 上单调递增．
$0
$a>1$ 时，函数 $h(x)$ 在 $(-\infty, 0),(\ln a,+\infty)$ 上单调递增；函数 $h(x)$ 在（ 0 ， $\ln a$ ）上单调递减．当 $x=0$ 时，函数 $h(x)$ 取得极大值，$h(0)=-2 a-1$ ．当 $x =\ln a$ 时，函数 $h(x)$ 取得极小值，$h(\ln a)=-a\left[\ln ^{2} a-2 \ln a+\sin (\ln a)+\cos (\ln a\right. +2]$ ．