2013_退役省自主命题 (2013·理)
21．（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+2 x+a, x<0 \\ \ln x, x>0\end{array}\right.$, 其中 $a$ 是实数．设 $A\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right), B\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)$ 为该函数图象上的两点，且 $x_{1}<x_{2}$．
（I）指出函数 $f(x)$ 的单调区间；
（II）若函数 $f(x)$ 的图象在点 $A, B$ 处的切线互相垂直，且 $x_{2}<0$，求 $x_{2}-x_{1}$ 的最小值；
（III）若函数 $f(x)$ 的图象在点 $A, B$ 处的切线重合，求 $a$ 的取值范围．
（I）减区间为 $(-\infty,-1)$，增区间为 $[-1,0),(0,+\infty)$；（II）略；（III）$(-\ln 2-1,+\infty)$．
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】（I）减区间为 $(-\infty,-1)$，增区间为 $[-1,0),(0,+\infty)$；（II）略；（III）$(-\ln 2-1,+\infty)$．
【解析】（I）函数的单调速减区间为 $(-\infty,-1)$，单调递增区间为 $[-1,0),(0,+ \infty$ ）． 3分
（II）由导数的几何意义可知，点 $A$ 处的切线斜率为 $f^{\prime}\left(x_{1}\right)$，点 $B$ 处的切线斜率为 $f^{\prime}\left(x_{2}\right)$，故当点 $A$ 处的切线与点 $B$ 处的切线垂直时，有 $f^{\prime}\left(x_{1}\right) \cdot f^{\prime}\left(x_{2}\right)=-1$．
当 $x<0$ 时，对函数 $f(x)$ 求导，得 $f^{\prime}(x)=2 x+2$，
因为 $x_{1}<x_{2}<0$，所以，$\left(2 x_{1}+2\right)\left(2 x_{2}+2\right)=-1$，
所以 $2 x_{1}+2<0,2 x_{2}+2>0$．
因此 $x_{2}-x_{1}=\frac{1}{2}\left[-\left(2 x_{1}+2\right)+\left(2 x_{2}+2\right)\right] \geq \sqrt{\left[-\left(2 x_{1}+2\right)\right] \cdot\left(2 x_{2}+2\right)}=1$，
当且仅当 $-\left(2 x_{1}+2\right)=2 x_{2}+2=1$，即 $x_{1}=-\frac{3}{2}, x_{2}=-\frac{1}{2}$ 时等号成立。
所以，函数 $f(x)$ 的图象在 $A, B$ 处的切线互相垂直时，$x_{2}-x_{1}$ 的最小值为 $1 . \cdots \cdots 7$ 分
（III）当 $x_{1}<x_{2}<0$ 或 $x_{2}>x_{1}>0$ 时，$f^{\prime}\left(x_{1}\right) \neq f^{\prime}\left(x_{2}\right)$，故 $x_{1}<0<x_{2}$．
当 $x_{1}<0$ 时，函数 $f(x)$ 的图象在点 $A\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)$ 处的切线方程为
$y-\left(x_{1}^{2}+2 x_{1}+a\right)=\left(2 x_{1}+2\right)\left(x-x_{1}\right)$，即 $y=\left(2 x_{1}+2\right) x-x_{1}^{2}+a$．
当 $x_{2}>0$ 时，函数 $f(x)$ 的图象在点 $B\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)$ 处的切线方程为
$y-\ln x_{2}=\frac{1}{x_{2}}\left(x-x_{2}\right)$，即 $y=\frac{1}{x_{2}} \cdot x+\ln x_{2}-1$．
两切线重合的充要条件是
$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x_{2}}=2 x_{1}+2, \\ \ln x_{2}-1=-x_{1}^{2}+a,\end{array}\right.$
由（1）及 $x_{1}<0<x_{2}$ 知，$-1<x_{1}<0$
由（1）（2）得 $a=x_{1}^{2}+\ln \frac{1}{2 x_{1}+2}-1=x_{1}^{2}-\ln \left(2 x_{1}+2\right)-1$．
设 $h\left(x_{1}\right)=x_{1}^{2}-\ln \left(2 x_{1}+2\right)-1 \quad\left(-1<x_{1}<0\right)$，
则 $h^{\prime}\left(x_{1}\right)=2 x_{1}-\frac{1}{x_{1}+1}<0$，
所以，$h\left(x_{1}\right)\left(-1<x_{1}<0\right)$ 是减函数．
则 $h\left(x_{1}\right)>h(0)=-\ln 2-1$，
所以 $a>-\ln 2-1$．
又当 $x_{1} \in(-1,0)$ 且趋近于 -1 时，$h\left(x_{1}\right)$ 无限增大，
所以 $a$ 的取值范围是 $(-\ln 2-1,+\infty)$．
故当函数 $f(x)$ 的图象在点 $A, B$ 处的切线重合时，$a$ 的取值范围是 $(-\ln 2-1,+\infty)$．
14分
【考点定位】本小题主要考查基本函数的性质、导数的应用、基本不等式、直线的位置关系等基础知识，考查揄论证能力、运算求解能力、创新意识、考查函数与方程、分类与整合、转化与化归等数学思想。第（I）问两个增区间之间错加并集符号；第（II）问没有注明均值不等式中等号成立的条件；第（III）问不会分离变量，把所求问题转化为函数值域问题。