（13 分）设函数 f(x)= [a x^ 2 -(4 a…——2018 高考数学第 18 题答案解析

【考点】6D：利用导数研究函数的极值； 6 H ：利用导数研究曲线上某点切线方程。

【专题】32：分类讨论；34：方程思想；48：分析法；52：导数的概念及应用； 53：导数的综合应用．

【分析】（I）求得 $f(x)$ 的导数，由导数的几何意义可得 $f^{\prime}(1)=0$ ，解方程可得 a 的值；
（II）求得 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的导数，注意分解因式，讨论 $\mathrm{a}=0, \mathrm{a}=\frac{1}{2}, \mathrm{a}>\frac{1}{2}, 0<\mathrm{a}<\frac{1}{2}, \mathrm{a} <0$ ，由极小值的定义，即可得到所求 a 的范围．

【解答】解：（I）函数 $f(x)=\left[a x^{2}-(4 a+1) x+4 a+3\right] e^{x}$ 的导数为
$\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=\left[\mathrm{ax}^{2}-(2 \mathrm{a}+1) \mathrm{x}+2\right] \mathrm{e}^{\mathrm{x}}$.
由题意可得曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在点（ $1, \mathrm{f}(1)$ ）处的切线斜率为 0 ，
可得 $(a-2 a-1+2) e=0$ ，且 $f(1)=3 e \neq 0$ ，
解得 $\mathrm{a}=1$ ；
（II）$f(x)$ 的导数为 $f^{\prime}(x)=\left[a x^{2}-(2 a+1) x+2\right] e^{x}=(x-2)(a x-1) e^{x}$ ，若 $a=0$ 则 $x<2$ 时，$f^{\prime}(x)>0, ~ f(x)$ 递增；$x>2, ~ f^{\prime}(x)<0, ~ f(x)$ 递减。 $x=2$ 处 $f(x)$ 取得极大值，不符题意；

若 $\mathrm{a}>0$ ，且 $\mathrm{a}=\frac{1}{2}$ ，则 $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=\frac{1}{2}(\mathrm{x}-2)^{2} \mathrm{e}^{\mathrm{x}} \geq 0, \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 递增，无极值；
若 $\mathrm{a}>\frac{1}{2}$ ，则 $\frac{1}{\mathrm{a}}<2, \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\left(\frac{1}{\mathrm{a}}, 2\right)$ 递减；在 $(2,+\infty),\left(-\infty, \frac{1}{\mathrm{a}}\right)$ 递增，
可得 $f(x)$ 在 $x=2$ 处取得极小值；
若 $0<\mathrm{a}<\frac{1}{2}$ ，则 $\frac{1}{\mathrm{a}}>2, \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\left(2, \frac{1}{\mathrm{a}}\right)$ 递减；在 $\left(\frac{1}{\mathrm{a}},+\infty\right),(-\infty, 2)$ 递增，可得 $f(x)$ 在 $x=2$ 处取得极大值，不符题意；
若 $\mathrm{a}<0$ ，则 $\frac{1}{\mathrm{a}}<2, \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\left(\frac{1}{\mathrm{a}}, 2\right)$ 递增；在 $(2,+\infty),\left(-\infty, \frac{1}{\mathrm{a}}\right)$ 递减，
可得 $f(x)$ 在 $x=2$ 处取得极大值，不符题意。
综上可得， a 的范围是（ $\frac{1}{2},+\infty$ ）。
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．