（12分）（2011 •辽宁）如图，已知椭圆 C_ 1 的…——2011 高考数学第 20 题答案解析

【考点】圆锥曲线的综合．

【专题】计算题；综合题．
【分析】（ I ）先利用离心率相同，把两椭圆方程设出来，与直线 1 联立求出 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 的坐标，再利用椭圆图象的对称性求出 $|\mathrm{BC}|$ 与 $|\mathrm{AD}|$ 的长，即可求 $|\mathrm{BC}|$ 与 $|\mathrm{AD}|$ 的比值；
（II） $\mathrm{BO} / / \mathrm{AN}$ ，即是 BO 的斜率 $\mathrm{k}_{\mathrm{B} 0}$ 与 AN 的斜率 $\mathrm{k}_{\mathrm{AN}}$ 相等，利用斜率相等得到关于 t 和 a 以及 e 的等式，再利用 $|\mathrm{t}|<\mathrm{a}$ 和 $0<\mathrm{e}<1$ 就可求出何时BD／／AN．

【解答】解：（I）因为 $\mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{2}$ 的离心率相同，
故依题意可设 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, \quad C_{2}: \frac{b^{2} y^{2}}{a^{4}}+\frac{x^{2}}{a^{2}}=1, \quad(a>b>0)$
设直线1：$x=t(|t|求得 $A\left(t, \frac{a}{b} \sqrt{a^{2}-t^{2}}\right), B\left(t, \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-t^{2}}\right)$（4分）

当 $e=\frac{1}{2}, b=\frac{\sqrt{3}}{2} a$ ，分别用 $y_{A}, y_{B}$ 表示的 $A, B$ 的纵坐标，
可知 $|B C|:|A D|=\frac{2\left|y_{B}\right|}{2\left|y_{A}\right|}=\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{3}{4}$（6分）
（II）$t=0$ 时的 1 不符合题意，$t \neq 0$ 时，
$B O / / A N$ 当且仅当BO的斜率 $k_{B 0}$ 与AN的斜率 $k_{A N}$ 相等，
即 $\frac{\frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-t^{2}}}{t}=\frac{\frac{a}{b} \sqrt{a^{2}-t^{2}}}{t-a}$,
解 $\mathrm{t}=-\frac{a b^{2}}{a^{2}-b^{2}}=-\frac{1-e^{2}}{e^{2}} \cdot a$ ；
因为 $|\mathrm{t}|<\mathrm{a}$ ，又 $0<\mathrm{e}<1$ ，所以 $-1<-\frac{1-\mathrm{e}^{2}}{\mathrm{e}^{2}}<1$ ，解得 $\frac{\sqrt{2}}{2}<\mathrm{e}<1$
所以当 $0<\mathrm{e} \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，不存在直线 1 ，使得 $\mathrm{B} 0 / / \mathrm{AN}$ ；
当 $\frac{\sqrt{2}}{2}<\mathrm{e}<1$ 时，存在直线 1 ，使得 $B 0 / / \mathrm{AN}$ ．
【点评】本题考查椭圆的有关知识．在第一问设方程时，充分利用离心率相同，把两椭圆方程用同两个变量设出来，减少了变量的引入，把问题变的简单化．