2011 高考数学第 21 题答案解析

2011_浙江卷 (2011·理)

2011 浙江 第 21 题 解答题 区分题
2011_浙江卷 (2011·理)

21、(2011•浙江)已知抛物线 $C_{1}: x^{2}=y$ ,圆 $C_{2}: x^{2}+(y-4)^{2}=1$ 的圆心为点 $M$
(I)求点 M 到抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 的准线的距离;
(II)已知点 P 是抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 上一点(异于原点),过点 P 作圆 $\mathrm{C}_{2}$ 的两条切线,交抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 于 A , B 两点,若过 M , $P$ 两点的直线 $I$ 垂足于 $A B$ ,求直线 $l$ 的方程.

考点:圆与圆锥曲线的综合。
专题:综合题。

分析:(1)由题意抛物线 $\mathrm{C}_{1}: \mathrm{x}^{2}=\mathrm{y}$ ,可以知道其准线方程为 $y=-\frac{1}{4}$ ,有圆 $\mathrm{C}_{2}: \mathrm{x}^{2}+(\mathrm{y}-4)^{2}=1$ 的方程可以知道圆心坐标为 $(0,4)$ ,所求易得到所求的点到线的距离;

(II)由于已知点 P 是抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 上一点(异于原点),所以可以设出点 P 的坐标,利用过点 P 作圆 $\mathrm{C}_{2}$ 的两条切线,交抛物线 $C_{1}$ 于 $A, B$ 两点,也可以设出点 $A, B$ 的坐标,再设出过 $P$ 的圆 $C_{2}$ 的切线方程,利用交与抛物线 $C_{2}$ 两点,联立两个方程,利用根与系数之间的关系整体得到两切线的斜率的式子,有已知的 $M P \perp A B$ ,得到方程进而求解。

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