（12分）已知函数 f(x)=x^ 2 +a x+b, g…——2013 高考数学第 21 题答案解析

【考点】3R：函数恒成立问题； 6 H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．
【分析】（I）对f（x），$g(x)$ 进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线 $y=f(x)$ 和曲线 $y=g(x)$ 都过点 $p(0,2)$ ，从而解出 $a, b, c, d$ 的值；
（II）由（I）得出 $f(x), g(x)$ 的解析式，再求出 $F(x)$ 及它的导函数，通过对 $k$ 的讨论，判断出 $F(x)$ 的最值，从而判断出 $f(x) \leq k g(x)$ 恒成立，从而求出 $k$ 的范围．

【解答】解：（ I$)$ 由题意知 $f(0)=2, g(0)=2, f^{\prime}(0)=4, g^{\prime}(0)=4$ ，而 $f^{\prime}(x)=2 x+a, g^{\prime}(x)=e^{x}(c x+d+c)$ ，故 $b=2, d=2, a=4, d+c=4$ ，从而 $a=4, b=2, c=2, d=2$ ；
（II）由（I）知，$f(x)=x^{2}+4 x+2, g(x)=2 e^{x}(x+1)$
设 $F(x)=k g(x)-f(x)=2 k e^{x}(x+1)-x^{2}-4 x-2$ ，
则 $F^{\prime}(x)=2 k e^{x}(x+2)-2 x-4=2(x+2)\left(k e^{x}-1\right)$ ，
由题设得 $\mathrm{F}(0) \geq 0$ ，即 $\mathrm{k} \geq 1$ ，
令 $F^{\prime}(x)=0$ ，得 $x_{1}=-\operatorname{lnk}, x_{2}=-2$ ，
①若 $1 \leq k0$ ，

即 $F(x)$ 在 $\left(-2, x_{1}\right)$ 上减，在 $\left(x_{1},+\infty\right)$ 上是增，故 $F(x)$ 在 $[-2,+\infty)$ 上的最小值为 $F\left(x_{1}\right)$ ，

而 $F\left(x_{1}\right)=-x_{1}\left(x_{1}+2\right) \geq 0, x \geq-2$ 时 $F(x) \geq 0$ ，即 $f(x) \leq k g(x)$ 恒成立。
②若 $k=e^{2}$ ，则 $F^{\prime}(x)=2 e^{2}(x+2)\left(e^{x}-e^{-2}\right)$ ，从而当 $x \in(-2,+\infty)$ 时，$F^{\prime}(x )>0$ ，

即 $F(x)$ 在 $(-2,+\infty)$ 上是增，而 $F(-2)=0$ ，故当 $x \geq-2$ 时，$F(x) \geq 0$ ，即 $f$ （x）$\leq k g ~(x) ~$ 恒成立。

③若 $k>e^{2}$ 时，$F^{\prime}(x)>2 e^{2}(x+2)\left(e^{x}-e^{-2}\right)$ ，
而 $F(-2)=-2 k e^{-2}+2<0$ ，所以当 $x>-2$ 时，$f(x) \leq k g(x)$ 不恒成立，
综上， k 的取值范围是 $\left[1, \mathrm{e}^{2}\right]$ 。
【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题。

四、